四川省普通高中数学学科教学基本要求

作者:姜强发表时间:2014/12/6 16:47:04来源:教导处访问次数:7009
 

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四川省普通高中

数学学科教学基本要求


四川省普通高中

数学学科教学基本要求


   

《四川省普通高中数学学科教学基本要求》(以下简称《要求》)以教育部颁布的《普通高中数学课程标准(实验)》为依据,遵照《四川省普通高中新课程数学学科教学实施指导意见(试行)》和我省普通高中数学学科教学实际制定.本《要求》以知识点为单位,对课程标准中各个模块的“内容标准”提出比较明确、具体的教学“基本要求”、“发展要求”和相应的“教学建议”.

在本《要求》中,“内容标准”列举了《普通高中数学课程标准(实验)》中该模块的所有知识点,“基本要求”则对“内容标准”中的知识点按照三课程目标的要求进一步细化,并对学习目标提出了具体、明确的学习要求,是四川省普通高中毕业生数学学科学业水平考试的命题依据.“发展要求”则针对在数学学习上有更大兴趣和更高学习需求的学生,对“内容标准”中部分知识点提出较高的学习要求,可供高中毕业生参与的选拔性考试命题时参考.“教学建议”是对教学策略、教学方式、教学活动以及在教学中如何落实相关知识点、怎样把握教学的深度、广度等提出相应的建议.希望教师们认真学习,遵照执行.

说明:其中注有“*”的内容,是《四川省普通高中新课程数学学科教学实施指导意见(试行)》中规定的选学内容,不作为我省普通高中毕业生学业水平考试和高考的考试内容,供同学们选学和教师们选教.


四川省普通高中数学学科

教学基本要求

一、必修模块

数 学 1

本模块的内容包括集合、函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数、幂函数).作为高中数学课程五个必修模块的第一个模块,它是学生学习其他模块的基础.

集合语言是现代数学的基本语言,是高中数学的基础.使用集合语言,可以简洁、准确地表达数学的一些内容.高中数学课程只将集合作为一种语言来学习,学生将学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象,发展运用数学语言进行交流的能力.

函数是高中数学的核心概念,是描述客观世界变化规律的重要数学模型.研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的需要,也是数学本身的自然要求.研究函数性质过程中体现出来的方法,也是数学学习和研究中经常使用的方法.高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数,函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终.在本模块中,学生学习的指数函数、对数函数、幂函数是三类基本的、重要的典型初等函数.通过学习基本初等函数,要求学生进一步深化函数概念的理解,熟悉函数性质的具体应用,掌握研究函数性质的过程与方法;利用函数的图象和性质,了解函数的零点与方程根的联系,学会用二分法求方程近似解,体会函数与方程的有机联系;能初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题,结合实际问题,感受运用函数建立模型的过程和方法,体会函数在数学和其他学科中的重要性和广泛应用.

内容标准

学习要求

教学建议

基本要求

发展要求

1.

1. 集合的含义与表示

1. 通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系,感受集合语言的意义和作用.

2. 能选择文字语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题感受集合语言的意义和作用.

1.教学中应注意只将集合作为一种语言来学习,使学生感受用集合表示数学内容的简洁性、准确性;帮助学生学会用集合语言表示数学对象,培养学生运用数学语言进行表达和交流的能力.

2.通过生活实例帮助学生直观理解集合的含义和有关概念,对集合元素的“确定性、互异性、无序性”的教学不宜编制繁、难、偏、怪的问题进行过分的训练.

3.通过实例,帮助学生感悟、领会集合的几种表示方法,如借助数轴表示数的集合,借用平面直角坐标系表示有序实数对的集合.

4. 教学中要创设使学生运用集合语言进行表述和交流的情境和机会,以使学生在实际使用中逐渐熟悉文字语言、图形语言、符号语言(列举法或描述法)的特点及相互转换,并能根据具体问题的不同特点选择合适的表达方式.

2. 集合间的基本关系

1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.

2.在具体情境中,了解全集、空集的含义.

3.能使用Venn图表达集合的关系,体会直观图示对理解抽象概念的作用.

运用图形语言、符号语言、文字语言理解相关概念的本质、联系及区别.

1.在实施集合间的包含关系的教学时,应结合具体例子,建议先让学生自己观察、发现相应的共同特点,然后再给出包含关系的定义.

2要求学生能写出给定有限集合的子集,知道其子集的个数,但不要求证明.

3. 集合

的基

本运

1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.

2.理解给定集合的一个子集的补集的含义,会求给定集合的补集.

3.能使用Venn图表达集合的运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用.

能使用集合语言表述、解决一些简单的数学问题,渗透数形结合、化归与转化的思想.

1.借助图形(Venn图或数轴)直观,帮助学生理解集合的运算律及性质.

2.集合的基本运算只要求简单的交、并、补运算,不要求拓展运算公式.教学时,主要以学生能够化简的集合为例,不宜过多引入表达繁难的集合,占用时间补充涉及超越学生知识和能力水平的内容(如不等式的解法等).

3.作为一种语言和工具,集合的学习是一个循序渐进的过程, 高一教学不宜一开始就拓展加深, 应该在以后相关章节的教学中不断巩固和深化.

2. 函数概念与基本初等函数I

1. 函数

1. 通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.

2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.

3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.

4.通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义;结合具体函数,了解奇偶性的含义.

5.学会运用函数图象理解和研究函数的性质.

1.能用定义判断或证明简单函数的单调性与奇偶性.

2.通过函数的单调性与奇偶性的学习,体会文字语言、图形语言、符号语言的相互转化.

3.能通过函数图象研究函数的性质,并能解决一些具体的问题.

1.函数概念的教学应通过实例,体会两个变量间的依赖关系,引导学生用集合与对应的语言刻画函数概念(强化概念形成过程,形成丰富的函数例证).

2.利用初等方法求函数定义域和值域须弱化.

3.强化学生的画图技能,会正确画出一些简单函数的图象.

4.进行分段函数的教学时,对象应限制在规定的几类简单分段函数(在定义域的子集上的函数为常值函数、一次函数、反比例函数、二次函数等初等函数的分段函数)上.

5.对单调性的概念教学,须高度重视引导学生运用数学符号语言将文字语言的描述提升到形式化的定义的思维过程; 强调函数的单调区间是其定义域的子集.

6.函数在某区间上的最大(小)值仅限于一次函数、二次函数、简单的分段函数、分式型函数或易知单调性的简单函数.

7.在教学中,应强调对函数概念本质的理解,避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练,避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题、怪题.

2. 指数函数

1. 通过具体实例(如细胞的分裂,考古中所用的14C的衰减,药物在人体内残留量的变化等),了解指数函数模型的实际背景.

2. 理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.

3. 理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.

4. 在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型.

借助指数(型)函数的图象,认识图象的平移变换、简单的对称变换.

1.在指数幂的教学中,要注意控制分数指数幂运算的难度.

2.教学中要让学生体会用有理数逼近无理数的思想.

3.根据学生的学习情况,在指数函数定义的教学中,可对底数a的规定“a>0,且a1的合理性做出一定的解释,让学生体会数学研究的一些基本策略和方法.

4.能熟练画出指数函数的图象,通过图象加深对其性质的理解与掌握.

5.结合教材中的实际问题,充分体现数学的应用价值,逐步加深数形结合思想、分类与整合思想的渗透与应用.

6.进一步渗透研究函数的一般思路和方法.

3. 对数函数

1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用.

2.通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.

3.知道指数函数y=ax 与对数函数y=loga x互为反函数(a > 0, a≠1).

1.借助对数(型)函数的图象,认识图象的平移、对称变换.

2.通过对数函数与指数函数的对比学习,渗透类比的思想和方法.

3. 通过对函数概念,指数函数和对数函数的学习,体会和总结研究与学习函数的一般方法.

1.对数概念的学习要注意与指数概念的联系,它们是同一关系从不同角度的刻画,要让学生能熟练进行指数式与对数式的互化.

2.对数运算法则的探究,可通过具体实例,猜想、归纳出运算法则,进而引导学生利用指数式与对数式的关系来完成证明.

3.结合实例,让学生认识对数运算的价值和作用,强化使用对数运算法则的条件,教学中应加强对数相关运算的训练,并结合具体的问题,通过运算培养学生的逻辑思维能力;应明确提出对数换底公式的运用(明确运用背景和基本的方法),要求能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.

4.强化函数定义域对函数性质的影响;注意对底数的分类讨论.

5.不强化利用初等方法研究复合函数的性质.

6.指数函数与对数函数的性质都是通过图象直观展现、归纳出来的,教学中要让学生体会由形及数、由具体到一般归纳数学结论的基本方法和途径,深化分类讨论、数形结合等数学思想的培养.

7. 反函数的处理只要求以具体函数为例进行解释和直观理解,对于互为反函数的两个函数图象的对称性,学生只需了解. 例如,可通过比较同底的指数函数和对数函数,说明指数函数y=ax和对数函数y=loga x  互为反函数(a > 0, a≠1),不要求一般地讨论形式化的反函数定义,也不要求求已知函数的反函数.

4. 幂函数

1. 通过实例,了解幂函数的概念.

2.结合函数的图象,了解它们的变化情况.

仅学习教材上内容即可,不需做扩展或补充.

5. 函数与方程

1.结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系.

2.根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法.

1.体会二分法所涉及的近似的思想、逼近的思想、算法的思想.

2.了解函数与相应方程之间的联系与区别,体会化归与转化、数形结合、函数与方程的思想.

1.对函数与方程的关系可先从一元二次方程与相应的二次函数入手,利用二次函数的图象建立一元二次方程的根与二次函数的零点的联系,然后推广到一般情形.

2.要注意引导学生加强知识之间的联系,如函数、方程、不等式等内容之间的关联,渗透函数与方程的思想.

3. 学生了解二分法的作用和操作步骤即可,不作计算上的要求.

6. 函数模型及其应用

1.利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异;结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.

2.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例,了解函数模型的广泛应用.

掌握运用简单初等函数建立函数模型解决较简单的实际问题的一般方法和过程.

1.在教学中通过对具体实例的探究,归纳概括所发现的结论或规律,并能用准确的数学语言进行表达,有意识的渗透算法思想.

2根据图表数据信息,建立拟合函数解决实际问题,逐步提高学生数据处理的能力,渗透数学建模的思想.

3.函数的应用可分为三类,一是已知函数模型;二是根据题设建立函数模型;三是根据数据选取函数类型进行拟合.函数的应用还应注意检验是否符合客观实际.对拟合函数模型的教学,教师可以通过计算机演示,让学生知道、了解拟合函数模型在解决实际问题中的意义及模型化过程,不必做更深入的探讨.

7.实习作业

根据某个主题,收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物(开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨、欧拉等)的有关资料或现实生活中的函数实例,采取小组合作的方式写一篇有关函数概念的形成、发展或应用的文章,在班级中进行交流.具体要求参见数学文化的要求.

通过实习作业,让学生了解数学发展的历史,体现数学的文化价值.


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本模块的内容包含立体几何初步、平面解析几何初步.

    在立体几何初步部分,学生将先从对空间几何体的整体观察入手,认识空间图形;再以长方体为载体,直观认识和理解空间点、线、面的位置关系;能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定,并对某些结论进行论证.学生还将了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法.

    解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质,体现了数形结合的重要数学思想.在本模块中,学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程,运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系,并了解空间直角坐标系.体会数形结合的思想,初步形成用代数方法解决几何问题的能力.

内容标准

学习要求

教学建议

基本要求

发展要求

1.立体几何初步

1.空间

几何

1.利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征;能运用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构.

2.能画出简单空间图形(棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型;能使用纸板等材料制作简单空间图形(例如长方体、圆柱、圆锥等)的模型,会用斜二测法画出它们的直观图.

3.通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图,了解空间图形的两种不同表示形式(三视图和直观图),了解三视图、直观图与它们所表示的立体模型之间的内在联系.

4.完成实习作业,会画某些简单实物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,对直观图的尺寸、线条等不作严格要求).

5.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式).

1. 学会用运动、变化、联系的观点了解柱、锥、台的联系和区别.

2.了解与正方体、球有关的简单组合体.

3.能根据条件判断几何体的类型, 提高观察、分析、抽象、归纳等认知能力,体会分类、类比等思想方法.

4.能识别长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱以及它们的简单组合的三视图所表示的空间几何体

5.理解三视图和直观图的联系,并能进行转化;理解斜二侧画法是一种特殊的平行投影画法.

 6. 会利用球、柱体、锥体、台体及简单组合体的三视图、直观图求球、柱体、体、台体及简单组合体的表面积和体积.

7. 掌握把多面体或圆台的侧面展成平面图形的方法,初步体会把空间图形化归为平面图形解决问题的思想.

1.教学时应注意与义务教育阶段课程的衔接.了解本章内容、要求与义务教育阶段数学课程空间与图形部分的内容、要求的联系与区别,教学时要注意与平面几何的联系,可以引导学生在与平面几何的类比过程中,提出立体几何研究的问题及其研究方法.

2.教学应遵循从整体到局部,从直观到抽象的原则.空间几何体的结构的教学应向学生展示大量几何体的实物、模型并利用信息技术工具,给学生展现丰富多彩的图形世界.在比较中形成对柱、锥、台、球及简单组合体结构特征的直观认识,在此基础上引导学生观察、归纳、抽象、概括出它们的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

3.通过变式、反例分析,提高学生对几何体的认识,进一步引导学生应用简单几何体的特征,描述现实生活中的物体的结构.

4.结合具体事例,讲解中心投影与平行投影的区别,重点放在平行投影上;抓住投射线与投射面的关系来区分正投影、斜投影两类不同的平行投影.通过实验演示,直观感知平行投影的基本性质.

5. 能结合几何模型画长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等空间几何体及其简单组合体的三视图,在此基础上,能识别和还原上述三视图所表示的立体模型. 会使用某些材料(如纸板)制作模型,会使用斜二侧法画出它们的直观图

6.通过实例教学,归纳总结出用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图的方法和步骤.

7.通过不同的方式得到有关多面体的展开图,进而加深对表面积的概念的理解,体会把空间图形转化为平面图形解决问题的思想.可以鼓励学生课后自主探究圆台表面积公式的推导过程.相关表面积公式不要求记忆.

8. “空间几何体的表面积和体积的教学要重在方法,根据结构特征并结合展开图推导表面积公式,运用类比联想的方法,将义务教育阶段学习的体积公式推广到一般柱体、锥体的体积公式;并通过动手实践,利用模型装水或沙等方法探究柱体与锥体体积之间的关系,把柱、锥、台的体积公式统一于台的体积公式之下. 教学中可以让学生初步感受通过分割将柱体转化为锥体、通过组合将锥体转化为柱体的思维过程;知道在球的表面积和体积公式的推导过程中利用了极限的思想.有兴趣和学有余力的同学可以了解整个推导过程,体会分割组合、极限的思想方法在处理这方面问题中的作用.

9.在本章教学中应通过现代信息技术,如计算机、网络等展示丰富的图片,让学生感受大量的实物,抽象出空间几何体及其结构特征,动态演示空间几何体的三视图和直观图,认识立体图形与平面图形的关系,帮助学生建立空间观念,提高空间想象能力和几何直观能力.学好立体几何需要学生能够多动手画一画、做一做,从不同的角度观察空间图形,体会空间几何体在不同视角下的结构特征.因此,应尽可能使用信息技术,帮助学生更好地学习,达到较好的教学效果.

2.点、线、面之间的位置关系

1.了解平面的概念.

2.借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上,抽象出空间线、面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.

◆公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.

◆公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.

 ◆公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

◆公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.

◆定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.

3.以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.

通过直观感知、操作确认,归纳出以下判定定理.

◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.

◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.

◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直.

◆一个平面过另一个平面的垂线,则两个平面垂直.

通过直观感知、操作确认,归纳出以下性质定理,并加以证明.

◆一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行.

◆两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行.

◆垂直于同一个平面的两条直线平行.

◆两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

4.能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.

1.会判断两条直线是异面直线并能简要说明理由;

2.学会将空间问题转化为平面问题的思想方法.

3.发展空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力、几何直观能力.

1.通过实际问题,引入平面概念,并注意与直线的概念进行比较.

2.通过直观感知、操作确认理解三个公理. 加强图形语言、符号语言和文字语言互译互换的教学力度,提高对公理所蕴涵的数学本质的理解.

3.与以往的立体几何教学要求相比,本章在几何推理证明的难度上有所降低.本章淡化了几何证明的技巧,不对直线、平面位置关系的判定定理进行逻辑推理证明,减少了定理的数量,删去了一些几何证明题.同时,通过改变知识的逻辑顺序,把对空间图形的整体认识和把握作为立体几何的学习起点,强化了直观感知和操作确认的过程,使合情推理得到加强,以使学生在立体几何学习中的认识过程完整化,这对培养学生的几何直观、空间想象力,发展他们的空间观念有好处.教学中要充分使用长方体模型,为学生理解直线、平面的位置关系提供直观工具,从而降低立体几何的学习难度.特别是关于直线、平面的平行、垂直的判定定理及其应用,应当把握直观感知、操作确认的要求,不要在证明、应用上做过多的文章,进一步的提高可以在选修系列的学习中完成.

4. 作为平面公理的运用,为增强学生空间想象能力,提高对平面的基本性质的理解,让学生体会运用所学知识解决问题的基本过程,可根据学生的学习实际,引导学生思考以下三个推论:

⑴经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.

⑵经过两条相交直线,有且只有一个平面.

⑶经过两条平行直线,有且只有一个平面.

具体实施教学时,让学生知道这三个结论是公理2前提条件的变换、能够简单说明推论12结论成立的理由即可.

5. 强调几何直观,加强对几何建模的教学,加强识图能力的培养,引导学生积极思考和探究.

教学中,一方面引导学生从生活实际出发,把知识与周围的事物联系起来,另一方面,教师要引导学生经历从现实的生活空间中抽象出空间图形的过程,注重探索空间图形位置关系的判定与性质的过程.比如,在有关直线、平面平行与垂直判定定理的教学中,要注重引导学生通过观察、操作、有条理的思考和推理等活动,从多种角度认识直线、平面平行与垂直的判定方法;在性质定理的教学中,同样不能忽视学生从实际问题出发,进行探究的过程.要引导学生借助图形直观,通过归纳、类比等合情推理来探索直线、平面平行与垂直的性质及其证明.

点、线、面的位置关系是立体几何初步中的重点内容,教学中应以长方体模型中的点、线、面关系作为载体,使学生在直观感知的基础上,认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系;通过对空间图形的观察、实验、操作和思辨,使学生了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法,并能解决一些简单的推理论证及应用问题, 培养学生的合情推理和演绎推理能力.应注意引导学生结合实际模型,学会将文字语言转化为图形语言和符号语言,能做到准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系.例如,教材中的公理、推论和定理,都是用文字语言叙述的,教学中,要帮助学生学会用图形语言和符号语言来描述.

6.在教学中,要求对有关线面平行、垂直关系的性质定理进行证明,使学生体会证明的过程和方法;而线面平行、垂直关系的判定定理只要求直观感知、操作确认,教学中不要提高要求;对于教材中的典型例题、习题,其结论一般不作为推理的直接依据,教学中侧重于引导学生分析和解决问题,体会过程,明确这些典型问题解决的基本方法和思路.

7.关于空间中的“角”与“距离”,只要求了解异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角及其平面角和点到平面的距离、平行于平面的直线到平面的距离、两个平行平面间的距离的概念.对于这些角与距离的度量问题,只要在长方体模型中进行说明即可,具体计算不作要求.

8.教学中,要注意利用类比、联想等方法,辨别平面图形和立体图形的异同,理解两者的内在联系,并逐渐地让学生感悟到,将空间问题转化为平面问题是处理立几问题的重要思想.

9.恰当使用现代信息技术,展现丰富的空间图形.使用信息技术的目的是通过演示、作图、验证等帮助学生认识几何体的结构特征;为学生理解和掌握图形的几何性质、探究几何性质等提供支持,提高学生的几何直观能力.在学生的空间概念还比较薄弱的时候,特别是在刚开始学习立体几何的阶段,如果能够引导学生通过信息技术观察实物模型,并根据模型进行分析,对帮助学生树立空间概念将有极大的帮助.

2.平面解析几何初步

1.直线与方程

1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.

3.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.

4.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),体会斜截式与一次函数的关系.

5.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.

6.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.

1.理解直线的倾斜角的取值范围.通过引导学生对斜率存在性的讨论,培养学生思维的严密性;

2.通过平行和垂直问题的解决,感受用代数方法研究几何图形性质的思想.

3.领悟直线之间位置关系的研究方法,进一步体会解析几何的数形结合基本思想.

4.通过解析法解决平面几何问题的实例,进一步体会建系、坐标化、用代数方法研究几何问题的基本思想与步骤.

1. 引导学生通过形的直观感知,引入倾斜角概念是刻画过一点的所有直线的倾斜程度的需要,并用运动变化的观点理解倾斜角的取值范围.

2. 直线的斜率与倾斜角是平面解析几何初步中的两个重要概念,要让学生正确地理解这两个概念,知道它们之间的联系与区别.结合义务教育阶段学过的“坡度”“坡角”及其关系引入斜率概念、直线的倾斜角和斜率对应关系.结合对确定直线的几何要素的回顾以及“坡度”与“坡角”的关系比较自然地引导学生探究过两点的直线斜率的计算公式.由于学生尚未学习任意角的三角函数,教学时要尽可能地通过计算器(机),让学生观察并体会直线的倾斜角变化时,直线斜率的变化规律,以加深对这两个概念的认识与理解.

3. 教学时,应注意从特例入手,引导学生由两直线的斜率是否存在及其关系进行分类,归纳总结一般结论,系统掌握判断两直线平行或垂直的基本方法.

4.在探求直线方程的过程中,要使学生了解直线与方程的对应关系:直线上点的坐标都满足方程,以方程的解为坐标的点都在直线上.满足了这两点才可以说这个方程是直线的方程,这条直线是这个方程的直线. 教学时让学生意识到这一点即可,不必展开. 结合确定直线位置的几何要素的分析,展开直线的方程的点斜式、两点式的教学,并引申拓展它们的特例斜截式与截距式,但不刻意要求机械记忆.

5.直线方程的教学,通过对直线方程的点斜式、两点式及其特例的分析,使学生了解引入直线方程一般式的必要性,要使学生认识到各种形式都有其适用条件与局限性,必须学会根据具体条件灵活地加以选择,并注意全面考虑问题.引导学生对斜率存在性的讨论,培养学生思维的严密性;直线到直线的角、两直线的夹角不做要求通过直线的斜截式与一次函数进行比较,指明方程中相关参数的几何意义,以提升对一次函数以及平行直线系或共点直线系的理解,初步渗透直线系的思想.

6.通过对直线的不同位置关系(平行、相交、重合)与联立它们方程组成的方程组解的情况进行比较归纳,得出直线的位置关系与方程组的解之间的内在关系.可通过作图直观验证求两直线交点的代数方法的正确性,提高学生自觉应用解方程组的方法求交点的意识.

7.对距离公式的推导,重在算法的设计与转化思想的体现,可从特殊到一般加以探究.以简单的几何证明为载体渗透建系、坐标化解决平面几何问题的方法,重在体会用代数方法研究几何问题的基本思想与步骤,理解解析几何的本质,不宜要求太高.

两平行直线间的距离公式推导可作为求点与直线的距离的补充范例,重在渗透化归、特殊到一般的思想,提高思辨论证能力,不要求学生记忆这个公式.

8.教学时关注重要数学思想方法.

首先将几何问题代数化,用代数的语言描述几何要素及其关系,进而将几何问题转化为代数问题,处理代数问题,分析代数结果的几何意义,最终解决几何问题 坐标法应贯穿平面解析几何教学的始终,帮助学生不断地体会数形结合的思想方法.在教学中应自始至终强化这一思想方法,这是解析几何的特点.

9.平面解析几何是一门典型的数与形结合的学科,信息技术在加强几何直观,促使数与形结合方面有着特殊的作用.借助信息技术,可以形象、直观地帮助学生认识所研究直线的几何属性,明确诸如直线间的位置关系与相应直线方程系数间的联系.

2.圆与方程

1.回顾确定圆的几何要素,在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的标准方程与一般方程.

2.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.

3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.

4.在平面解析几何初步的学习过程中,体会用代数方法处理几何问题的思想.

1. 掌握圆的标准方程与一般方程的互化方法,会求圆的圆心、半径.经历和体会待定系数法在求曲线方程中的应用,较熟练掌握用待定系数法求圆的方程.

2. 了解圆上任意点与直线上任意点之间距离的最值的研究方法,体会数形结合、化归转化的思想方法;借助圆关于直线对称的相关研究,促进解析思想的运用.

1. 通过确定圆的几何要素分析,引入圆的标准方程,进行知识的正迁移,用坐标法重新研究圆的问题,通过运用多种解法求以已知三点为顶点的三角形的外接圆的方程,渗透待定系数法的教学,并加以比较分析,提高学生合理根据条件选择适当的方程形式求圆的方程的能力.让学生在问题解决过程中总结用坐标法解决几何问题的“三步曲”——建系、运算、翻译,让学生切实感受到坐标法的本质就是将几何问题代数化.

2.通过配方法进行变换,让学生明确特殊的二元二次方程与圆的标准方程之间的联系及其表示的曲线类型,并渗透分类思想. 教学时应着重要求学生理解过程与方法,不要机械记忆相关结论.

3.可视学生的学习情况,通过补充一些简单的求曲线方程的范例,使学生初步感受曲线的方程与方程的曲线的概念,帮助学生理解曲线和方程的对应关系,但不要补充一般意义的曲线与方程概念,让学生初步体会到解析几何的本质即可.

4.教学时要把直线与圆的位置关系讲好,为下一步学习选修内容圆锥曲线与方程奠定基础;借处理教材阅读与思考·坐标法与机器证明之机,适时介绍我国数学家吴文俊教授的杰出贡献,激发学生的民族自豪感.

教科书未介绍圆的切线方程x0x+y0yr2,这并不是说不涉及圆与直线相切这一位置关系.与直线相切这一位置关系的判断可以有两种方法,一种是利用圆心到直线的距离等于半径长;另一种是利用它们的方程组成的方程组只有一组实数解.

5.通过研究方程组和比较相关几何量的大小关系这两种不同途径,分别解决直线和圆、圆与圆的位置关系的判定,深化解析几何中的数形结合思想,并经过比较分析,优化解决问题的途径.

6.根据方程研究直线与圆、圆与圆的位置关系,是平面解析几何初步的重要内容,教学重点是既要让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想,又要注意利用平面几何知识优化解题思路.实施教学时,不要将问题复杂化,要防止追求变形的技巧和加大运算量来增加问题的难度.

7.教学中,要注意体现数学的应用价值.使学生了解到利用平面解析几何的知识和方法能解决日常生活与生产实际中的一些具体问题.

8.重视数形结合思想方法的应用.在平面解析几何初步的教学中,教师应帮助学生经历如下的过程:首先将几何问题代数化,用代数的语言描述几何要素及其关系,进而将几何问题转化为代数问题;处理代数问题;分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题.这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终,帮助学生不断地体会数形结合的思想方法.

9. 关注学生的动手操作和主动参与.教学中,注意提供充分的数学活动和交流的机会,引导他们在自主探索的过程中获得知识、增强技能、掌握基本的数学思想方法.例如,探求点的轨迹时,提倡先用信息技术工具探究轨迹的形状,对问题有一个直观的了解,然后再分析轨迹形成的原因,找出解决问题的方法,使得学生抓住问题的本质,理清思路,制订合理的解题策略.

10. 借助信息技术,可以帮助学生形象、直观地认识所研究的曲线. 在动态演示中,观察曲线的性质,并以直观观察作为基础,掌握曲线的基本性质及其代数表示;运用信息技术,也可以进一步验证代数关系得到的曲线与曲线的集合性质或特征,为抽象的认识增添了形象的支持;在探究点的轨迹时,可以借助信息技术,探究轨迹的形状等等.

3.空间直角坐标系

1.通过具体情境,感受建立空间直角坐标系的必要性,了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置.

2.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距离公式.

1.建立空间直角坐标系,解决正方体、长方体条件下的简单空间问题;会表示一些具有明显对称性的几何体的顶点坐标.

2.知道合情推理是科学发现的有效途径之一,逐步养成运用类比等方法进行合情推理的习惯.

1.通过回顾平面直角坐标系相关内容,并与平面直角坐标系的类比,引入空间直角坐标系;运用类比、归纳等合情推理引入空间两点间的距离公式.

2.在相关知识的产生和发展过程中,促进学生把平面上的方法、结论合理地迁移到空间,让学生初步体会不同维度的背景下,低维度向高维度发展、高维度向低维度转化的基本思维方式.

3.可借助长方体等模型的直观性,展开相关内容的教学.


3

本模块的内容包括算法初步、统计、概率.

算法是数学及其应用的重要组成部分,是计算科学的重要基础.算法思想已是现代人应具备的一种数学素养.需要特别指出的是,中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想.在本模块中,学生将在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上,结合对具体数学实例的分析,体验程序框图在解决问题中的作用;通过模仿、操作、探索,学习设计程序框图表达解决问题的过程;体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性,发展有条理的思考与表达的能力,提高逻辑思维能力.

统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科,它可以为人们制定决策提供依据.随机现象在日常生活中随处可见,概率是研究随机现象规律的学科,它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法,同时为统计学的发展提供了理论基础.因此,统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识.在本模块中,学生将在义务教育阶段学习统计与概率的基础上,通过实际问题情境,学习随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法,体会用样本估计总体及其特征的思想;通过解决实际问题,较为系统地经历数据收集与处理的全过程,体会统计思维与确定性思维的差异.学生将结合具体实例,学习概率的某些基本性质和简单的概率模型,加深对随机现象的理解,能通过实验、计算器(机)模拟估计简单随机事件发生的概率.

内容标准

学习要求

教学建议

基本要求

发展要求

1. 算法初步

1.算法的含义、程序框图

1.通过对解决具体问题过程与步骤的分析(如二元一次方程组求解等问题),体会算法的思想,了解算法的含义

2.通过模仿、操作、探索,经历通过设计程序框图表达解决问题的过程.具体问题的解决过程中(如三元一次方程组求解等问题),理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件分支结构、循环结构

1.通过对解决具体问题过程与步骤的分析,认识到算法是解决某一类问题的步骤,而且能在有限步之内完成,并初步认识到这样的步骤是明确有效的.

2.通过对解决具体问题程序框图的分析,理解其中蕴含的算法,理解算法步骤与程序框图之间的对应关系(数学语言的转化)

3.初步形成用算法思想解决问题的意识

算法教学应遵循课标、立足实际,结合案例实施,让学生了解算法概念、学会算法分析、掌握算法设计、体验算法实现、形成算法意识进而升华为算法思想

1.算法教学必须通过实例进行.算法的概念没有一个统一的定义,可从丰富的实例出发,自始至终贯彻“通过对解决具体问题过程与步骤的分析,体会算法的思想,了解算法的含义”的要求,使学生在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构,并力求使学生能够对算法本质有所认识,避免将算法概念泛化

2.用好教材,准确把握算法内容的教学要求.

根据课程标准对算法的定位,教学中应当把体会算法的基本思想、提高学生逻辑思维能力作为重点,即教学过程中,应当以教科书中提供的案例为载体,引导学生在设计程序框图并转化为程序语句的实践中,体会算法的含义,学会用程序框图表达解决问题的思路

3.教学时既要训练学生针对实际问题设计算法并作出程序框图的能力,也要训练根据程序框图理解算法的逻辑思维能力

2.基本算法语句

经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程,理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句,进一步体会算法的基本思想

1.理解算法步骤、程序框图与程序语言之间的对应关系,理解简单的程序语言与算法语句之间的可转化性

2.进一步形成用算法思想解决问题的意识

1.教学时让学生理解学习算法基本语句的必要性.程序设计语言是由一些有特殊含义的程序语句构成,与程序框图中介绍的三种基本逻辑结构相对应.教材介绍了输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句和循环语句,尽管不同的程序语言有不同的语句形式和语法规则,但基本结构是相同的.因此,教材所介绍的语句形式及程序稍加修改就可以变为某些具体的程序设计语言形式的程序,并可以在计算机上执行

2.算法语句教学必须通过实例进行,使学生在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构和算法语句.文字语言、程序框图和程序语言是表达算法的三种形式,教学时应通过简单的实例说明程序框图和算法语言的使用及三种语言的相互转化,抓住算法表示的核心内容,不刻意追求完整

3.算法教学只能立足于让学生认识到解决某些问题存在算法,并能找到其中一种算法,而不必引导学生去研究算法的多样性,更不能去研究不同算法的优劣.同时,本模块的主要目的是使学生体会算法的思想,提高逻辑思维能力,因此不要将此部分内容简单处理成程序语言的学习和程序设计

4.本模块中的算法内容是将数学中的算法与计算机技术建立联系,形式化地表示算法.有条件的学校,应鼓励学生尽可能上机尝试

3.算法案例

通过阅读中国古代数学中的算法案例,体会中国古代数学对世界数学发展的贡献

1.算法案例的教学重在对案例体现的算法的分析.

与其他内容的学习相比较,算法学习的最大特点就是操作实践性强.因此,了解经典的算法案例有助于学生深入理解算法的特征和进一步体会算法思想.教材安排了“辗转相除法与更相减损术”、秦九韶算法与“进位制”三个中国古代及西方数学中的经典算法案例,通过栏目设置给学生提供模仿、操作、探索的机会,从算法的典型性、与以往知识的联系性和可接受性的角度出发,帮助学生体会其中所蕴涵的算法思想,使学生能够通过案例的学习进一步理解算法的本质

2.强化学生模仿、操作、探索,经历算法设计的过程

只有通过学生自己的亲身实践,让学生亲自去解决几个算法设计的问题,才能使学生体会算法的基本思想,理解基本逻辑结构和算法语句.在算法初步中安排了许多案例,这些案例的算法在计算机应用中所体现的一些数学思想、思维方法都比较经典、有深度,同时也较难理解.通过学习使学生理解它们的算法原理、算法程序设计的技巧,领悟其中的思想与智慧.这里更多的是了解与感受,但并不要求学生具体解决一些较难的问题.因此,教学中要把握好教学的要求,以理解案例的算法为重点,利用它们解决一些简单的问题.鼓励有兴趣有能力的同学去解决某些具有挑战性的问题

3.突出思想方法和培养能力要有侧重点

本章教学应该根据每一节教材内容的实际和《课程标准》的要求,在突出思想方法上,主要以让学生不断地体会算法思想为主;在能力培养上,应立足于通过分析解决具体问题的算法,提高概括能力和逻辑思维能力,发展有条理的思考和数学表达的能力.这样,学生学习的目标和重点才明确,教和学的困难才会变小,相关的思想方法和能力才会逐步得到提高

4.算法除作为本模块的内容之外,其思想方法应渗透在高中数学课程其他有关内容中,鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题.

由于算法思想的基础性,它可以渗透到许多领域的问题解决中去.特别地,算法思想在数学本身的学习与研究中有着广泛的应用.当学生学习了算法,并能从算法的角度思考解决问题时,他们解决问题的能力将会发生质的飞跃.因此,算法教学不仅仅是算法知识的教学,更是数学思维方法与策略的教学,它不应该也不可能仅在12课时内完成,需要教师在整个数学教学过程中不断渗透

2.统计

1.随机抽样

1.能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题

2.结合具体的实际问题情境,理解随机抽样的必要性和重要性

3.在参与解决统计问题的过程中,学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;通过对实例的分析,了解分层抽样和系统抽样方法

4.能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据

理解随机抽样的必要性和重要性,能选择恰当的抽样方法解决随机抽样问题

1.统计的特征之一是通过部分的数据来推测总体数据的性质.要让学生通过具体操作,或对过去经验的回顾,感受抽样方法的合理性:既保证抽样的随机性,又保证样本的代表性

2. 统计教学必须通过案例来进行.教学中应通过对一些典型案例的处理,使学生经历较为系统的数据处理全过程,在此过程中掌握一些数据处理的方法,并运用所学知识、方法去解决实际问题、理解统计的思想,而不是死记硬背公式和概念

3.在统计教学中,要引导学生体会统计的作用和基本思想,使学生体会统计思维与确定性思维的差异,注意到统计结果的随机性,统计推断是有可能犯错误的

4.统计是为了从数据中提取信息,教学时应引导学生根据实际问题的需求自主探索、通过比较选择不同的方法合理地选取样本(即能用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样这三种方法,不要扩大范围),教师应关注三种抽样方法的差别和各自的适用范围

5.在可能情况下,应借助于计算机(器)进行统计计算,减少计算量

2.用样本估计总体

1.通过实例体会分布的意义和作用,在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,体会它们各自的特点

2.通过实例理解样本数据标准差的意义和作用,学会计算数据标准差

3.能根据实际问题的需求合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并作出合理的解释

4.在解决统计问题的过程中,进一步体会用样本估计总体的思想,会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征;初步体会样本频率分布和数字特征的随机性

5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想,解决一些简单的实际问题;能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据,认识统计的作用,体会统计思维与确定性思维的差异.

6.形成对数据处理过程进行初步评价的意识

教学时要注意从样本数据中提取需要的数字特征,并讲清楚这些数字特征的作用和意义.教师不要把这部分内容讲成简单的数据的加减乘除和它们的简便算法,不应把统计处理成数字运算和画图表

本章的教学中,对有关统计概念(如“总体”,“样本”等)应结合具体问题进行描述性说明,不必引导学生去探究这些概念的确切定义,不必追求严格的形式化定义

3.变量的相关关系

1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图,并利用散点图直观认识变量间的相关关系

2.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.

1.教学时应注重知识体系的前后贯通,抽样的操作步骤、统计分析的基本流程都体现了算法思想;线性回归方程与函数一章中的数据拟合相呼应

2.在处理线性相关的内容时,教师可以鼓励学生探索用多种方法确定线性回归直线.在此基础上,教师可以引导学生体会最小二乘法的思想,根据给出的公式求线性回归方程.对感兴趣的学生,教师可以鼓励他们尝试推导线性回归方程

3.概率

1.随机事件的概率

 1.在具体情境中,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别

2.通过实例,了解两个互斥事件的概率加法公式

1.准确理解概率的相关概念

2. 能区分对立事件和互斥事件.

1.概率教学的核心是让学生了解随机现象与概率的意义.教师应在学生已有知识的基础上,通过日常生活中的大量实例,深化学生对随机现象的认识.鼓励学生动手试验,正确理解随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性,并尝试澄清日常生活中的一些错误认识(如 “中奖率为1/1 000的彩票,买1 000张一定中奖”)

2.教学中应该让学生了解随机试验的三个特征:(1)试验在相同的情形下可重复进行;(2)试验的所有结果是明确可知的,但不止一个;(3)每次试验总是出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一个结果.

3.教材中出现两个事件的“和事件”的记号“A+B,教学中需要控制难度,仅仅限于在“两个互斥事件有一个发生”的问题中用A+B来表示,不考虑AB不互斥时的A+B的概率计算问题

4.教学中应结合以前学习的集合知识,使学生重新认识互斥事件及其发生的概率:表示互斥事件与对立事件的集合的交集都是空集,但是两个对立事件的并集是全集,而两个互斥事件的并集不一定是全集

5.通过概率的学习,使学生感受数学与现实世界的重要联系,崇尚数学的理性精神,逐步形成辨证的思维品质;养成准确、清晰、有条理地表述问题以及解决问题的习惯,提高数学表达和交流的能力;进一步拓宽视野,逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值

6.指导学生阅读有关资料,了解人类认识随机现象的过程.结合概率的教学,进行偶然性和必然性对立统一观点的教育

2.古典概型

1.通过实例,理解古典概型及其概率计算公式

2.会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率

1.准确理解古典概型的相关概念

2.体会“用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率”所蕴含的分类与整合思想

1.古典概型的教学应让学生通过实例理解古典概型的特征:实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性,让学生初步学会把一些实际问题化为古典概型

2.由于没有计数原理的支撑,在利用等可能事件的概率公式计算概率时,要避免出现必须用排列组合的知识、方法与技巧进行计算的问题教学中不应把重点放在如何计数上,计数的方法限于枚举法(借助于列表、树状图)即可

3.随机数与几何概型

1.了解随机数的意义,能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行模拟)估计概率

2.初步体会几何概型的意义

3.通过阅读材料,了解人类认识随机现象的过程

能应用几何概型解决简单的应用问题.

1.从古典概型到几何概型,是从有限到无限的延伸,这表明等可能的情况不仅在有限个事件时可以发生,也能拓展到无限个事件的情形

2.几何概型的教学应抓住其直观性较强的特点,通过实例说明几何概型的特征是实验结果的无限性和每一个实验结果出现的等可能性.概率统计的定义、古典概型、几何概型的定义都是描述性的,教师不必过分地去揣摩、探究其用语,而应理解其实质

3.教师应有意识的利用适当的信息技术辅助教学,鼓励学生尽可能运用计算器、计算机来处理数据,进行模拟活动,更好地体会统计思想和概率的意义.例如,可以利用计算器产生随机数来模拟掷硬币的实验等


4

本模块包含三角函数、平面上的向量(简称平面向量)、三角恒等变换.

三角函数是基本初等函数,它是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要的作用.在本模块中,学生将通过实例,学习三角函数及其基本性质,体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用.

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一,它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景.在本模块中,学生将了解向量丰富的实际背景,理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力.

三角恒等变换在数学中有一定的应用,同时有利于发展学生的推理能力和运算能力.在本模块中,学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式,由此出发导出其他的三角恒等变换公式,并能运用这些公式进行简单的恒等变换.

内容标准

学习要求

教学建议

基本要求

发展要求

1. 三角函数

1. 任意角、弧度

1. 认识角扩充的必要性,了解任意角的概念.

2. 了解弧度制,能进行弧度与角度的互化.

3. 能用集合和数学符号表示终边相同的角.

4. 能用集合和数学符号表示象限角.

1. 认识弧长公式、扇形面积公式,并能进行简单应用.

2. 能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.

1. 教学中应根据学生实际创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例展现角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.

2. 弧度是学生比较难接受的概念,可在后续课程的学习中引导学生逐步理解角度制与弧度制都是度量角的方法,二者是辨证统一的.应让学生知道,角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系.

2. 三角函数

1. 借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

2. 能判断各象限角的正弦、余弦、正切函数值的符号.

3. 理解终边相同的角的同一三角函数的值相等.

4. 认识单位圆中任意角的正弦线、余弦线和正切线

5. 理解同角三角函数的两个基本关系式: sin2α+cos2α=1,并能进行简单应用.

6.能借助单位圆中的三角函数线推导诱导公式(2kπ+απ±α±α的正弦、余弦、正切),能进行简单地应用.

7. 能画出y=sinxy=cosxy=tanx的图象,了解三角函数的周期性.

8. 借助图象理解正弦函数、余弦函数在[02p],正切函数在-π/2π/2上的性质(单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等).

9. 结合具体实例,了解y=Asin(wx+j)的实际意义;能借助计算器或计算机画出它的图象,观察参数Awj对函数图象变化的影响.

10. 初步学会由图象求出解析式的方法,会用三角函数解决一些简单的实际问题.

11. 体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 体验实际问题抽象为数学问题的过程.

1. 掌握用单位圆中三角函数线、图象变换研究三角问题的方法

2. 会用“五点法”画正、余弦型函数的图象.

3. 掌握运用平移变换和伸缩变换把y=sinx的图象变换为y=Asin(wx+j)的图象的方法,掌握参数Awj对函数图象变化的影响规律.

4. 了解简谐运动的振幅、周期、频率、初相、向位.

5.能够根据y=Asin(wx+j)的图象,确定Awj的值.

6. 掌握函数y=Acos(wx+j)的图象与函数 y=Asin(wx+j)的图象的联系.

7.能运用三角函数知识分析和处理实际问题.

1. 根据学生的生活经验,如海水潮汐、月亮的阴晴圆缺等生活情境,使学生感受周期现象的广泛存在,认识周期现象的变化规律,知道三角函数是描述周期现象的重要模型,体会这种函数模型的意义.

2. 以锐角三角函数为引子,用单位圆上点的坐标表示锐角三角函数,在此基础上引入任意角的三角函数;利用已学函数概念理解三角函数,把握其本质;还可以通过科学计算器求三角函数值,帮助学生进一步体会三角函数是一种特殊的函数.有条件的学校应当尽量使用信息技术辅助教学,展示三角函数定义逐步拓展的过程.

3. 引导学生由定义得到“终边相同的角的同名三角函数值相等”,并利用它把求任意角的三角函数值转化为求[02p)内角的三角函数值,从代数角度揭示三角函数值的周期变化规律,渗透化归的数学思想.

4. 以单位圆中的三角函数线作为认知基础,通过探究学习,引导学生在单位圆中构造以任意角的正弦线、余弦线为直角边的直角三角形,启发学生思考其中的几何关系,从而得出同角三角函数基本关系,渗透“以形助数”的数形结合思想.

5. 对“已知一个角的某个三角函数值求其余两个三角函数值”这类问题,应要求学生先判断角所在的象限,进而确定所求三角函数值的符号,再求值.

6. 对“恒等式证明”,只要让学生学会遵循“由繁到简”、“等价转化”的原则进行变形,能证明一些简单的三角恒等式即可.

7. 通过学生亲自动手或教师做演示实验方式完成单摆的简谐振动实验,使学生对三角函数图象产生直观认识,引出正弦函数、余弦函数的图象.启发学生根据正弦线的变化规律,思考如何更快地画正弦函数的图象,注意其自变量要用弧度制表示.

8. “五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法.在教学中应引导学生观察图象,得出五个关键点;可先让学生动手作图,借助图象了解三角函数的周期性.

9. 正弦函数、余弦函数的奇偶性由图象观察得到或用诱导公式进行证明都较容易,可由学生自主完成.

10. 对于正切函数,可引导学生类比正、余弦函数图象与性质来研究.

11. 引导学生用“五点法”或借助计算器(机)等信息技术工具画出y=Asinωx+φ的图象.通过对参数φω、A的赋值,从具体到抽象,分别考察参数φω、A对函数图象的影响,研究由函数y=sin x的图象到y=Asinωx+φ的图象变换过程.

12. 通过图象引导学生认识y=Asin(wx+j)图象的五个关键点,由此得出“五点法”画y=Asin(wx+j)图象的方法y=Asin(wx+j)的图象也可以通过周期变换、振幅变换、相位变换等方法,由图象变换得到,鼓励学生选择不同的变换途径,要求能用准确数学语言描述不同的变换过程,培养学生从不同角度分析问题解决问题的能力.

13. 在教学中引导学生从实际问题中发现周期变化规律,分析问题中的数量关系,将实际问题抽象为与三角函数有关的模型.

14. 重视学科渗透,运用三角函数分析理解其他学科的相关内容,开展数学探究或数学建模活动.

2. 平面向量

1. 平面向量的实际背景及基本概念

1. 通过力和力的分析等实例,了解向量的实际背景.

2. 通过力和力的分析等实例,理解平面向量和向量相等的含义.

3. 理解向量的几何表示.

掌握平面向量的几何意义及应用.

1.本节可按照:“创设问题情境——探索研究新概念——巩固认识新概念”进行设计. 向量概念的教学应从物理背景和几何背景入手,物理背景是力、速度、加速度等概念,几何背景是有向线段.教学中所设计的问题应贴近学生生活,从中抽象出既有大小又有方向的量—向量,并说明向量与数量的区别.教学中不妨让学生列举向量的实例,以便观察他们对向量概念属性的领悟,形成对概念的初步认识,为进一步抽象概括做准备.

2.在问题中培养学生比较、鉴别、归纳的思维能力,系统有序地“组织”看似零散的一堆相关概念,针对本节概念多的特点,教学中要设计一定数量的练习达到重点概念重点掌握,并且注重概念辨析,可做一些必要的变式训练,理解平面向量几何表示,向量的长度(模)、零向量、单位向量、相等向量、共线向量等基本概念,以突出概念的本质特征,消除非本质因素对概念学习的负面影响.

3.明确零向量的意义与作用,但不必深挖细枝末节,针对零向量进行过多的单纯的形式上的讨论.

4.本节内容重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念,而是获得数学研究对象、认识数学新对象的基本方法.为了帮助学生建立向量的概念,与数、形的相关概念(数及其运算、直线的平行关系等)类比与联系是值得重视的.

2. 向量的线性运算

1.通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义.

2.通过实例,掌握向量数乘的运算,并理解其几何意义,以及两个向量共线的含义.

3.了解向量的线性运算性质及其几何意义.

掌握向量的运算律以及向量线性运算的几何意义

1.在本节的教学中与数的运算进行类比是一种重要的教学方法.教学中可采取引导发现法,通过探究引导学生自己类比数的加法交换律和结合律,通过画图验证的实验方法加强理解向量加法的交换律和结合律.

2. “向量的线性运算的法则的教学必须重视新知识与学生熟悉的背景的联系, 通过实例,掌握向量加法(三角形法则、平行四边形法则)及其几何意义、加法运算律. 利用相反向量帮助学生掌握向量减法运算及其几何意义.借助向量加法帮助学生正确理解数乘的运算及几何意义,帮助学生掌握向量共线的条件,在建立概念过程中进行能力的培养.

3. 平面向量的基本定理及坐标表示

1. 了解平面向量的基本定理及其意义.

2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

3. 会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.

4. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

以向量、向量运算为例,体会类比思想在数学发现、新知识学习中的作用.

1.平面向量基本定理是平面向量的核心内容之一,教学中可采用合作学习法,先让学生分析向量e1e2可能的位置关系,区分出共线、不共线两种情况,在此基础上验证共线时λ1e1+λ2e2λ1e1λ2R不能表示平面内任意向量,不共线时能表示平面内任意向量的结论.通过探究活动,引导学生自主得出平面向量基本定理.

2.在平面向量坐标表示的教学中要渗透求简意识的培养,让学生体会到向量的坐标表示是一种更简约的表示方式,向量的坐标表示的引入可使向量运算完全代数化和程序化,从而可以使很多几何问题的解答转化为简单的数量运算.

4. 平面向量的数量积

1.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义.体会平面向量的数量积与向量投影的关系.

2.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.

3.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

能应用平面向量数量积解决相关问题

1.从学生熟知的功的概念出发,引出平面向量数量积的概念及其几何意义,体会平面向量的数量积与向量投影的关系(向量投影的概念只要求了解,不必展开)

2.向量的数量积是向量的一种重要运算.教学中建议采用探究法,要求学生会利用向量的数量积定义推导有关结论,这些结论可以看成是定义的一个推论,教学中应当让学生独立完成,教师作适当点评.

3.注重平面向量数量积的运算及应用,突出向量的共线(平行)、垂直、长度、夹角、判断三角形的形状等,以及和其它数学知识的结合,充分发挥向量作为代数和几何的桥梁作用,培养学生逻辑推理能力与综合应用的能力.

5. 向量的应用

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力.

能将实际问题转化为数学问题,能将几何图形的性质转化为向量关系,能将物理量之间的关系抽象为向量关系.

1. 用向量方法解决某些简单的平面几何问题,要特别强调用向量解决几何问题的“三步曲”,即(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.

2. 平面向量应用的教学可以按照“创设问题情境——探索研究——讨论交流”进行设计,注重向量模型的建立,强调分析问题的重要性,选取贴近学生生活的实际问题让学生讨论交流,亲自体验用向量方法解决物理及实际问题的过程,培养学生的探索精神和合作研究能力.

3.平面向量的应用主要在平面几何和简单的物理学这两个方面,不在其它方面拓展.

3. 三角恒等变换

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1. 了解学习两角和与差三角函数公式的必要性.

2. 经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程,进一步体会向量方法的作用.

3. 能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.

4. 能利用这些公式进行和、差、倍角的求值和简单的化简.

1. 理解在两角差的余弦公式的推导过程中所体现的向量方法.

2. 理解和、差、倍角的相对性,能对角进行合理正确的拆分.

3. 能对公式进行简单的逆向和变形使用.

1. 设计教学情境,引导学生从数形结合的角度出发,利用单位圆中的三角函数线、三角形中的边角关系等建立关于正弦、余弦的等量关系运用平面向量的数量积推导两角差的余弦公式,体会推导过程中所蕴含的数学思想方法.

2. 在两角差的余弦公式推导的教学中应合理引导学生联想向量知识,体会向量方法的应用;充分利用单位圆,分析其中相关几何元素(角的终边及其夹角)的关系;要关注公式推导过程中体现的分类讨论、数形结合思想以及向量方法的应用.

3. 在教学中,通过和角、差角、二倍角的三角函数之间的紧密内在联系,由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,建立关于两角和、差、倍、半等的三角函数公式体系,展示数学发现的过程,让学生从中总结归纳出公式推导的一般方法.

4. 在教学中,老师可以根据学生的学习情况和思维现状,对公式的推导顺序作出适当的调整.教学中应当把握要求,不要作过多拓展.

2.简单的三角恒等变换

1. 能利用和、差、倍角的公式进行基本的变形,并证明简单三角恒等式.

2. 能把一些实际问题化为三角问题,通过三角变换解决.

1. 了解和、差、倍角公式的特点,并能进行变形应用.

2. 理解三角变换的基本特点和基本功能.

3. 能利用三角恒等变换研究三角函数的性质.

4. 了解三角变换中蕴藏的数学思想和方法.

1.引导学生以已有的公式为依据,在推导积化和差、和差化积、半角公式的过程中,体会三角变换特点,提高推理运算能力.教学时应当把握好“度”,不要随意补充知识点(如半角公式、积化和差与和差化积公式,这些公式不要求记忆,更不要求运用).

2.在教学中,要注意恰当地提出问题,加强对三角函数式特征的观察,使学生明确三角恒等变换包括结构形式、角、不同三角函数名之间的变换,引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题.

3.要切实提高学生“活”用公式的能力,加强逆用及变用公式的训练.要求学生在解题中不断总结规律,归纳三角恒等变形中常用的变换方法,如函数名的变换、角的变换、升降次的变换、“1”的代换等,注意体会三角恒等变换方法的特殊性.

4.把一些实际问题化为三角问题,通过三角变换解决,培养学生应用意识,激发学生学习兴趣.


数学 5

本模块的内容包含解三角形、数列、不等式.

学生将在已有知识的基础上,通过对任意三角形边角关系的探究,发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系,并能运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题,认识数学与现实世界和实际生活的联系,培养和发展学生的数学应用意识.

学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析,建立等差数列和等比数列这两种数列模型,探索并掌握它们的一些基本数量关系,感受这两种数列模型的广泛应用,并利用它们解决一些实际问题.通过学习数列这种特殊的函数,学生将会从离散的角度再次认识函数,深化对函数本质的理解.

不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系,是数学研究的重要内容.学生将通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值;能用二元一次不等式组表示平面区域,并尝试解决一些简单的二元线性规划问题;体会优化思想和数学知识、数学方法在解决优化问题中的广泛应用;掌握求解一元二次不等式的基本方法,认识基本不等式及其简单应用;体会不等式、方程及函数之间的联系并能解决一些实际问题,发展学生的数学应用意识.

内容标准

学习要求

教学建议

基本要求

发展要求

1.

1. 正弦定理和余弦定理

1.探索并发现正弦定理和余弦定理.

2.掌握正弦定理和余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.

1.能运用观察、归纳、猜想、探究的方法,探索并发现正弦定理和余弦定理,提高对数学学习的兴趣,提高思维能力.

2.能运用正弦定理和余弦定理解决三角形中的三角函数问题,体会知识间的交汇.提高由实际问题抽象数学问题并加以解决的能力.

1.重视与已学知识的衔接.

在义务教育阶段学习三角形相关知识的基础上,通过对任意三角形边角关系的探究,从特殊到一般,引导学生探索并发现正弦定理,可以采用“情境引入——学生活动——建构数学——数学理论——数学应用——反馈小结”的探究教学模式组织教学.

正、余弦定理都是用来处理三角形中的边角关系的,与初中学习的三角形的边与角的基本关系和已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系.从联系的观点,从新的角度看过去的问题,加强与已学知识的联系,在新知识开启之时让旧知识作为基础,能使前后知识结合成为一个有机整体,提高教学效益,并有利于学生学习和巩固数学知识.

2.在正弦定理和余弦定理教学过程中,应突出向量的工具作用.在此前的学习中,学生对三角函数、平面向量已形成初步的知识框架,具备了学习正弦定理和余弦定理的知识基础,教学中可引导学生自主学习、探究,利用向量方法或几何论证等方法证明正弦定理和余弦定理,并从中体会从特殊到一般的数学思想方法.

3.通过适量的训练,引导学生在给定两边一对角或两角一边的条件下,用正弦定理解三角形,对于给定两边一对角的条件,应引导学生探索解三角形时解的个数与已知条件有关,需要具体情况具体分析,防止学生因认识不足、理解不透彻而造成解答不全面的错误.

通过运用余弦定理解决“给定两边一夹角求三角形的第三边”和“已知三边求角”等问题的训练,掌握余弦定理,并选取一些适合学生能力水平的三角形度量问题,培养学生综合运用正弦定理和余弦定理解决一些简单问题的能力.

4.教学时应引导学生体验正弦定理和余弦定理在三角形边角关系互化中的作用.通过实例,促进学生逐步形成根据问题、条件特征选择定理和变换方向的素养,体会化归与转化的数学思想方法.

5.在运用正弦定理和余弦定理时,注意强化三角形、三角函数、平面向量等数学知识之间的联系,不必在恒等变形上进行过于繁琐的训练

2. 正弦定理和余弦定理的应用

1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

1.经历由实际问题抽象为数学问题并加以解决的过程,体会观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的过程,提高数学表达和交流的能力.

2.通过应用三角函数解决实际问题的教学,发展学生的数学应用意识和应用能力

1.通过实例引导学生正确运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题,培养学生从实际问题转化为数学问题的能力.

2.引导学生认识公式的作用,指导学生选择恰当的公式解题.通过适度的训练,促进学生根据问题的特点和其中角度、函数名、式子结构特征,在可以运用的多种方法中,选择正确的思路和联系最为紧密的公式,以简化运算和推理过程.

3.强调将解三角形作为几何度量问题来处理,突出几何的作用,在应用正弦定理与余弦定理解决实际测量问题时,注意培养学生的创新意识和实践能力,但所设计题目不要求太难,应鼓励学生用不同方法解决问题,而不是硬套公式.

4. 应用正弦定理与余弦定理解决实际测量问题时,可结合实习作业,让学生进一步巩固所学知识,渗透数学建模的思想.

2.

1. 数列的概念和及简单表示法

1.通过日常生活中的实例,了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).

2.了解数列是一种特殊函数.

1.了解递推公式也是表示数列的一种方法.

2.会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式,渗透归纳、猜想的方法和合情推理的数学思想.

1.通过实例,引出数列的概念,使学生感受数列是刻画社会、生活和自然现象的基本数学模型,感受数列研究的现实意义.

2.引导学生探究和发现数列的几种简单表示法:通项公式、列表法、图象法.明确数列的三种表示法与函数的三种表示法的关系,体会数列是一种特殊的函数.

3.用具体的实例指导学生认识用递推公式表示数列的方法,并能在给出首项和递推关系的条件下,写出数列的若干项.

2. 等差数列、等比数列

1通过实例,理解等差数列、等比数列的概念.

2.探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前项和的公式

3. 能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.

4. 体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系.

1. 掌握研究等差数列通项与和的迭加法、倒序相加法,研究等比数列通项与和的迭乘法、错位相减法.在解决有关问题中体会基本量的思想,感受化归与转化的数学思想.

2.利用等差数列、等比数列解决相关的实际问题,渗透数学建模的思想.

3. 体会等差数列的前n项和公式与二次函数及其图象之间的关系

4.能解决一些由较简单递推公式给出的数列的有关问题,体现化归与转化的数学思想.

1.通过实例认识数列的项的等差或等比关系,从项与项的关系的特点上理解等差数列或等比数列的概念,理解“等差”或“等比”是等差数列或等比数列的概念、研究等差数列或等比数列性质的基础,也是思考等差数列或等比数列问题的基本出发点,教学中,应引导学生在思考问题时,经常回到这个出发点上来.

在等差数列和等比数列的教学中,应强化二者的形式与本质关系异同的对比通过对比发现两种数列的联系和区别,强化对概念、公式的理解;还应引导学生通过类比,体会两种不同数列在数量关系(公式结构)、解决问题的思想方法上的共性,深化对这两种重要的特殊数列本质的认识

2.引导学生从具体的等差数列和等比数列的实例出发,归纳猜想出等差数列和等比数列的通项公式与前项和的公式,并探究证明方法,要求学生在通项公式的基础上认识等差数列、等比数列的特征,体会从特殊到一般的思维过程.

3.教学中,应保证基本技能的训练,引导学生通过必要的练习,体会函数与方程、化归与转化的数学思想方法,掌握数列中各量之间的基本关系,但训练要控制难度和复杂程度.特别引导学生从变量的角度认识等差(比)数列的五个参量,深刻体会可以根据五个参量中的任意三个求出其余两个的“知三求二”的方程思想,对于等差数列知道“知三求二”的问题一般都可以归结为解二元一次方程组;对于等比数列,要控制“知三求二”的问题难度;并通过实例强化认识首项和公差在解决等差数列问题中的重要性,体会解决等差数列问题可以化归到首项和公差的转化思想;强化认识首项和公比在解决等比数列问题中的重要性,体会解决等比数列问题可以化归到首项和公比的基本量方法.

4.通过具体实例,如教育贷款,购房贷款,放射性物质的衰变,人口增长等,引导学生从实际问题中发现等差数列、等比数列模型,并通过模型解决相关问题,让学生充分经历数学建模的过程,从中体验到建立离散问题的数列模型的基本方法,体验连续问题离散化的思想方法,提高学生解决实际问题的能力.

培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力以及转化与化归的数学思想方法.

5. 教学中应认真研究新课标对数列部分基础知识与基本能力的论述,注重研究由部分知识定位的变化所引发的教学内容的变化.将数列作为一类特殊函数来学习,将函数的表示方法迁移到数列的表示方法中,将一次函数、二次函数的性质应用到等差数列的通项公式与求和公式中,因此,函数的单调性、函数的最值、函数的有界性、函数的周期性也可以迁移到数列中去,构成数列的研究问题.

3. 不等式

1. 不等关系

1.通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.

2.了解不等式(组)的实际背景.

1.用不等式或不等式组表示不等关系,从实际问题中抽象出不等式模型,培养学生的抽象与概括能力.

2.体会不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值. 感悟生活中蕴藏着的不等与相等的关系,感知不等与相等的对立统一的关系.

1.通过具体情境,感受现实世界和日常生活中存在着的大量的不等关系,并能用正确的不等关系式表示.教学中要明确,建立不等观念、处理不等关系与处理等量问题同样重要.

教学中要加强不等关系是客观事物的基本数量关系的认识,把不等关系及不等式的教学建立在实际背景上.引导学生进一步挖掘身边或数学中的不等关系,通过分析其中的基本数量关系,加深学生对用不等式刻画不等关系的认识.

2. 类比等式的基本性质进行不等式性质的教学. 在不等式性质的教学中,要注意与等式性质类比,以使学生认识不等式及其性质与等式及其性质之间的异同.其中要引导学生认识讨论等式、不等式的基本思想:运算中的不变性就是性质,虽然教材的主体部分没有直接阐述不等式的更多性质,但仍然要求从实数的基本性质出发,引出不等式的基本性质,并用范例指导学生学习简单的证明方法,教学中仅要求学生会简单地说理,不能要求太高,不涉及复杂的技巧.

2. 一元二次不等式

1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程.

2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.

3.会解一元二次不等式.对给定的一元二次不等式尝试设计求解的程序框图.

1.了解含参数的一元二次不等式的解法.

2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.体会不等式、方程及函数之间的联系,体会联系与转化的辩证思想、算法思想、函数思想和数形结合的数学思想.

3. 能利用一元二次不等式解决一些实际问题.

1.在一元二次不等式的教学中,从二次函数图象与二次方程的关系出发,探索、归纳出一元二次不等式的求法,突出从特殊到一般的认识过程.用数形结合的思想,指导学生认识一元二次不等式的解集、一元二次方程的根及函数的零点之间的关系;并用实例加强训练求解一元二次不等式的基本技能,尤其是对应的一元二次方程有无实根的情况对不等式解集的影响,指导学生既可以求出相应方程的根,然后根据相应函数的图象求出不等式的解集,也可以运用代数的方法求解.

2.强调经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程,还要通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系,注重用数形结合思想解决问题.另外,鼓励学生从通性通法的角度设计求解一元二次不等式的程序框图,这里既是算法思想的应用,同时也有助于学生更好地掌握解一元二次不等式的过程和模型结构,教学中应与学生一起细细体会.可根据教学实际,酌情补充几个应用问题,适当地加强与一元二次不等式相关的实际问题的训练,强化从实际情境中抽象出不等式模型的过程.

3.这部分内容的教学重点是一元二次不等式的解法,教学中要特别控制问题的难度,尤其是“区间根的问题”、“二次函数在区间上的最值问题”、“二次不等式在区间上恒成立的问题”等,应当适度控制,因为这类问题常常涉及含参数的问题,需要分类讨论,分类与整合思想的掌握需要一个循序渐进的过程.

3. 二元一次不等式组与简单的线性规划问题

1.从实际情境中抽象出二元一次不等式组.

2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.

3.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题.并能加以解决.

在讨论简单线性规划问题时,对目标函数进行量化分析的过程中,强调数形结合思想、化归与转化思想、运动变化思想的渗透和理解,突出用不等式解决优化问题的过程和方法.

1.二元一次不等式(组)的教学,要强调从实际情境中抽象出二元一次不等式(组)模型,而不是像以往那样从纯数学角度提出问题.认识不等式组的几何意义,要注意按教材构建的过程,从具体到抽象,使学生切实经历从点与有序实数对、直线与方程的对应到平面区域与不等式组的对应的过渡,进一步体会数形结合思想的实质及其重要性.线性规划的应用性很强,其中的优化思想方法是基本的数学思想方法.教学中,让学生经历完整的从数学化(提出优化问题)到图解法的过程,突出借助几何直观解决问题的基本方法,引导学生体会线性规划的基本思想.教学时,重在问题的转化、表达和解决,并提出相关数学术语(不必引入过多名词);重在解决线性规划问题的程序化,教师要做好示范,教学时规范绘图,并指导学生动手操作,有条件的应尽量运用计算机或其他工具辅助教学.

2.不等式有丰富的实际背景,是刻画区域的重要工具.刻画区域是解决线性规划问题的一个基本步骤,教学中可以从实际问题引入用平面区域表示二元一次不等式组的方法.对于具体的平面区域也应学会用二元一次不等式组表示的方法,教学中,始终渗透“直线定界,特殊点定域”的方法,帮助学生用集合的观点分析、用集合的语言描述组合图形的问题,使问题更清晰和准确.

3. 对于解决线性规划问题,应强调通性通法,指导学生融入算法思想,将其归结为算法问题加以解决.

4.教学中应强调不等式组的几何意义、现实背景和实际应用.通过案例的学习,引导学生理解目标函数的几何意义.

4. 基本不等式:

(a,b0)

1.探索并了解基本不等式的证明过程.

2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.

在基本不等式的推导过程中,强调数形结合认识和理解不等式,突出运用基本不等式解决简单的最大(小)值问题,从而体现优化思想.

1指导学生探索并了解基本不等式的来源与证明过程,并利用几何图形对基本不等式作出几何解释,用于加深对基本不等式形式的记忆.

2.通过实例指导学生利用基本不等式求解某些最值问题(特别是非一元二次函数的最值问题),在求解中展示这种方法的优势.

3.应用基本不等式求最值时,需要特别提醒学生讨论等号成立的条件.

4.只要求了解基本不等式的证明,对于“绝对值不等式”、“不等式的性质及其证明”以及“用分析法、综合法、比较法证明不等式”等内容暂不作要求.

5.均值不等式 的教学,要强调基本不等式的探究过程,其中要注意学生培养从数、形等不同角度审视同一问题的习惯和意识.


二、选修模块

1-1

本模块的内容包括常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用.

学生通过学习了解命题的逆命题、否命题与逆否命题及其相互关系,理解必要条件、充分条件与充要条件的意义,了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义,理解全称量词与存在量词等有关概念,学会使用常用的逻辑用语准确地表达数学内容;体会逻辑用语在表述和论证中的作用,形成自觉地利用逻辑知识对一些命题间的逻辑关系进行分析和推理的意识,发展学生利用数学语言准确贴切地描述问题、规范简洁地阐述论证的能力,从而能够更好地进行数学交流;激发学生数学学习的兴趣,优化学生数学思维的品质,帮助学生逐步养成良好的学习习惯.

学生通过学习了解圆锥曲线与二次方程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,会求圆锥曲线的标准方程,了解曲线与方程的对应关系,能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题(例如直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问题;感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用,进一步体会解析几何的基本思想──运用代数方法研究几何问题的思想,增强数学应用的意识,提高数学建模的能力;了解平面解析几何产生和发展的过程及其对数学发展和社会发展的推动作用,帮助学生逐步养成独立钻研的习惯,形成克服困难的意志和毅力,进而具有锲而不舍的钻研精神和科学态度,树立运动变化和相互联系的辩证唯物主义观点.

微积分的创立是数学发展中的里程碑,它的发展及广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期,它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段.导数的概念是微积分的核心概念之一,它有极其丰富的实际背景和广泛的应用.在本模块中,学生将通过大量实例,经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程,理解导数的含义,体会导数的思想及其内涵;应用导数探索函数的单调、极值等性质及其在实际中的应用,感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用,体会微积分的产生对人类文化发展的价值

内容

标准

学习要求

教学建议

 

基本要求

发展要求

1.命

1了解命题的逆命题、否命题与逆否命题

2理解必要条件、充分条件与充要条件的意义,会分析四种命题的相互关系

1能写出简单命题的逆命题、否命题及逆否命题

2.会利用互为逆否命题的两个命题之间的等价关系来判断命题的真假.

结合四种命题形式,理解充分条件、必要条件与充要条件的含义

1.通过能清晰分辨条件和结论的命题实例,阐述命题的概念.以生活和数学中的丰富实例,说明四种命题形式的客观存在,使学生进一步认识到研究四种命题的必要性和现实意义,体会逻辑用语在表述和论证中的作用.

2.对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求作一般性的了解,应以学生熟悉的、与数学有关的命题为载体进行训练,引导学生会写出命题的逆命题、否命题、逆否命题,而不需要进行形式上的加深讨论.教学中仅要求会写出易于改写成“若p,则q”形式的命题的逆命题、否命题、逆否命题.

3.通过实例的分析,总结得出四种命题之间的相互关系,帮助学生弄清原命题与逆否命题、逆命题与否命题是同真假命题,注意引导学生体验规律的探索、发现过程.

4.数学中的充分条件、必要条件的概念,与日常生活中的“充分”“必要”的意义相近,教学时既要结合数学例子进行,还应该借助日常生活中的例子进一步内化.

5.在“若p,则q形式的命题为真命题的基础上引入充分条件、必要条件的概念,以学生熟知的具体实例为载体,分析条件与结论之间的关系.可以结合集合的知识,运用Venn图来直观描述充分条件、必要条件的关系,促进学生对必要条件、充分条件与充要条件的理解.

6.对“充分条件、必要条件与充要条件”的判断,只要求掌握“若p,则q”形式命题的判断方法.这里的pq都是不含逻辑联结词“或”、“且”的,不要随意拔高要求.

 

2.简

通过数学实例,了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义

结合阅读材料,感受“或”“且” “非”与集合中的“并”“交” “补”之间的关系

1.引导学生利用逻辑联结词“或”“且”“非”构造新命题,通过分析新命题的真假,理解“或”“且”“非”的含义.可适当联系集合与不等式的相关知识进行讲解,让学生在探究新旧知识关系的同时,提升对数学知识的理解.

2.不涉及复合命题的概念.p,则q形式命题中的pq都不含有逻辑联结词”“”“,并且pq本身也不是r,则s形式的命题.

3.对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的了解,主要功能是让学生学会用这些逻辑联结词有效地表达相关的数学内容.因此,教学内容的设计要通过具体的数学实例进行,避免抽象讨论.注意命题的否定与否命题的联系与区别.对于不是“p,则q”形式的命题,不要求讨论其否命题.

4引导学生学会用逻辑用语表达数学内容,体会运用逻辑用语表述数学内容的准确性和简洁性,使自己的思想、判断、推理的表达更具逻辑性.教学中应避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释,不必要求使用真值表

 

3.全

1通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义

2能正确地对含有一个量词的命题进行否定

初步理解全称量词与存在量词在构造数学命题中的作用

1.对一个命题,冠以不同的量词,得到的命题的属性是不同的:冠以全称量词得到全称命题,冠以存在量词得到特称命题.教学中应引导学生正确区分这两种命题,并能正确判断两种命题的真假.含有两个量词的命题,不要求学生掌握.

2.通过生活和数学中丰富的实例,让学生体会量词在数学和生活中的作用,理解全称量词与存在量词的意义,自觉提高利用全称量词与存在量词准确、简洁地表述数学内容的能力.

3.利用日常用语和学生熟悉的数学命题讲述对含有一个量词的命题进行否定的意义,对于量词,重在理解它们的含义,而不要追求形式化定义.要注意全称量词与存在量词在日常生活和数学中的不同表达形式.

4.在实践的基础上,理解含有一个量词的命题的否定,教会学生正确把握这种否定的形式化特征,并且只要求学生对含有一个量词的命题进行否定,通过实例让学生深刻理解全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.

 

线

1. 椭圆

1.了解椭圆的实际背景,感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程,掌握椭圆的定义、焦点、焦距等基本概念.

3.掌握椭圆的标准方程,能根据已知条件求出椭圆的标准方程.

4.能求出椭圆上满足某些条件的点的坐标.

5.能利用椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率等).

6.能根据椭圆的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题.

1体会利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质的方法

2.经历由轨迹特征抽象成数量关系、形成方程的探究过程,在实施数形转化解决问题的过程中,培养抽象概括能力和逻辑思维能力,养成独立思考的良好品质.

1.通过生活实例或利用多媒体演示(卫星的运行轨迹、平面截圆锥得到圆锥曲线),让学生经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,通过操作、观察、探究揭示椭圆的几何特征,理解并掌握椭圆的定义.明确椭圆定义中限定条件的作用和影响,强化利用反例理解定义(如两定点的距离与定长的大小关系).

2突出建立椭圆标准方程的全过程:

1建系-设点-列式(限制条件)- 代入坐标(得方程)- 化简方程.

2)只要求让学生从方程同解的角度认同即可,不要求提及纯粹性和完备性的概念.(3)参数b的引入在这里只需说明是为了简化方程形式,到后面的学习中再说明其几何意义.(4)焦点在y轴上的椭圆标准方程可由学生独立研究自行推出(不妨先作猜想,或变量代换).5)在方程的推导过程中,方程形式为两个根式的和等于一个非零常数,要注意说明化简这类方程的必要性和方法,培养学生的运算能力,体会数学美.

3.对求给定条件的椭圆的标准方程,可引导学生根据已知条件利用待定系数法求出ab的值,然后得出相应的标准方程.

4.利用椭圆标准方程研究其几何性质时应关注以下两点:一是掌握椭圆的基本性质以及方程中不变量的几何意义和相互关系,二是希望通过对方程的讨论,领悟解析几何是如何用代数方法来研究曲线几何性质的.由于是第一次系统地用代数的方法研究曲线的几何性质,应注意控制教学进度与难度.

1突出用代数方法(方程)研究几何问题的解析几何的基本思想.如:范围、对称性等.

2顶点是椭圆与对称轴的交点,不能认为最高(低)点、最左(右)点就是顶点,也不能认为顶点就一定是椭圆与坐标轴的交点.

3在实验的过程中让学生感受和理解离心率的几何意义(可引导有兴趣和能力的学生思考:直观上椭圆的扁平程度本可用来刻画,为什么还要用来刻画)

 

2.抛

线

1.了解抛物线的实际背景,感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

2.了解抛物线的定义、准线等基本概念,了解抛物线的标准方程.

3.知道抛物线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率等).

4.能解决简单的应用问题.

会建立抛物线的标准方程,并能根据已知条件求抛物线的标准方程.

1.通过丰富的实例(投掷铅球的运行轨迹、探照灯的镜面),使学生了解抛物线的背景与应用,引导学生掌握抛物线的定义;可借助计算机,向学生展示用平面截圆锥得到抛物线的过程,使学生加深对抛物线定义的理解.

2.让学生独立地探索建立抛物线标准方程的过程,掌握求抛物线标准方程的方法;对于在已知条件下求抛物线的方程,引导学生要考虑到抛物线标准方程的四种形式,培养其思维的严谨性.

3关注抛物线方程与几何性质的特殊性:

1)建立抛物线标准方程时坐标系的合理选择.让学生在独立探索的过程中认识到:建立抛物线的方程,关键是选择适当的坐标系.

2)注意与椭圆、双曲线的联系与区别:

方程特点:无常数项,一个一次项,一个二次项.

图形特征:过原点,一条对称轴,非中心对称.

4.通过对具体实例的教学,引导学生学会利用定义解决数学问题,以便加深对抛物线定义的理解,感受到抛物线在解决实际问题中的作用.

 

3.双

线

1.了解双曲线的实际背景,体会双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

2.了解双曲线的定义、焦点、焦距等基本概念.

3.了解双曲线的标准方程,知道双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等).

4.能解决一些简单的应用问题.

1.了解双曲线与椭圆的区别和联系.

2.能根据已知条件求出双曲线的基本量.

1学习双曲线时要注意与椭圆进行类比,通过类比、直观操作、观察模型等了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道双曲线的有关性质.教学时应注意学生的学习实际,严格控制难度和范围

1)教学时,在教和学两个方面,都要突出双曲线和椭圆联系,从过程、结论、方法各个层面与椭圆进行类比.概念教学仍然着重强调限定条件的作用、运用反例深化理解

2双曲线的范围:由,得 1这表明双曲线在不等式xax≤-a所表示的平面区域内.对于有兴趣的学生,可以引导其得出限定更为精确的不等关系 从中明确双曲线位于两条相交直线所围成的的区域内,为渐近线的引入作好了铺垫.

3双曲线离心率的几何意义:可与椭圆类比提出问题,通过数形结合、分析发现“反映了双曲线的开口的大小”之类的结论.

2.由于学生已有了求椭圆标准方程的经验,所以在推导双曲线的标准方程时,应尽可能让学生自己动手推导.

3.类比椭圆的几何性质研究双曲线的几何性质,引导学生在观察双曲线图形的同时,结合方程探究双曲线的简单几何性质.对于双曲线所特有的渐近线,可以利用多媒体演示,直观反映其“渐近”的特征.

本部分内容必须控制教学的拓展延伸.

 

4.圆锥曲线的简单应用

1.能解决与圆锥曲线有关的一些简单的实际问题.

2.体验由曲线(形)到方程(数),又由方程研究曲线的过程,感受数形结合思想的应用,会用数形结合思想解决问题.

1.了解直线与圆锥曲线的位置关系.

2会求两条曲线的交点坐标,能解决有关的简单问题(转化为求解方程组的问题).

1.由实例的教学,帮助学生学会应用方程组的知识解决曲线的交点问题、研究直线与圆锥曲线的位置关系,并解决相关的简单问题.在解决与弦长有关的问题时,引导学生发现利用整体思想代换x1 + x2x1x2,让学生体会借助于一元二次方程根与系数的关系,能简化步骤,避免繁杂运算,提高效率.

2.通过生活中丰富的实例(如投掷铅球的运行轨迹.卫星的运行轨迹等),引导学生利用坐标法解决生活中的实际问题,培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力,形成善于独立思考的良好品质.

导数及其应用

1.导数的概念及其几何意义

1.通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵.

2.通过函数图象直观地理解导数的几何意义.

1.理解导数的概念.

2.体会逼近思想和以直代曲的转化方法.

3.以导数的几何意义、物理意义为基础,运用导数概念解决相关问题.

1.导数是微积分的核心内容,它有着极其丰富的实际背景和广泛的应用.教学中,可以通过研究曲线的切线、增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等能直接反映导数思想及本质的、学生熟悉的实例,引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,认识并理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,增强导数几何意义的认识和理解.

2.现行导数概念是在没有全面学习极限的情况下出现的,所以要注重导数概念的本质,强调导数的思想、物理意义、几何意义以及应用.在导数概念的教学时,要注意通过大量的实例,引导学生理解“瞬时”二字的含义,让学生领会导数思想的核心在于瞬时变化率的刻画.

3.导数概念教学的操作可以按下列程序进行:(1) 从生活实例中引入平均变化率的概念研究运动和变化,离不开变化率任何事物的变化可以由变化率来描述,从而引出平均变化率的概念(也就是一个变量在一定范围内的变化即相对改变)(2) 导数的概念是本部分的核心,教学时必须尽可能强化导数的概念及概念的形成在某时间段的平均变化率无法反映、刻画某时刻的变化率,只有当时间段无限缩短并无限靠近某时刻时方可得到该时刻的变化率即瞬时变化率,运用逼近思想考察瞬时变化率即可明确导数的概念的本质(3) 注重导数的几何意义,通过大量实例研究导数概念.在函数可导的范围内,局部使用以直代曲即用曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线,通过简单的、熟悉的直线的研究解决复杂的、陌生的问题,贯穿了以直代曲、无限逼近的思想方法,这样从形的角度诠释导数,深刻反映了数形结合思想的广泛、灵活运用,也深化了对导数概念的掌握.

4.本部分内容在微积分理论等方面要求不高,教学时切勿追求理论的严密性和过多的技巧,关键是理解导数概念的内涵,注重思想、过程及应用.根据教学实际与信息技术进行合理的整合,促进对导数意义的理解,例如:以直代曲、“逼近”过程的展示、函数单调性与导数符号关系、增长快慢与导数的绝对值大小的关系、导数几何意义的直观展示等.

5.本模块的教学必须注意把握好教学要求,在计算的难度、应用的深度和广度、函数的类型等方面都应该针对学生实际进行合理控制.

 

2

1.能根据导数定义求函数y = cy = xy = x2的导数.

2.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.

3.会使用导数公式表.

1.理解几个常见函数的导数的几何意义,能准确记忆基本初等函数的导数公式和导数运算法则,熟练求解简单函数的导数

2.能根据导数的定义求某些(仅限于形如fax + b))简单复合函数的导数.

3.能运用导数解决一些简单的实际应用问题.

1.建立了导数的概念后,要实实在在引导学生动脑、动手推导几个常见初等函数(如y = cy = xy = x2)的导数公式,在形式化训练中规范要求,从而加深对导数概念的认识和理解,并从中领悟求导数的基本思想.

2.教学中不需补充导数运算法则的证明,只要求能感知、记忆、理解并运用基本初等函数的导数公式和运算法则求一些简单函数的导数即可.

3.教学时不要求对复合函数的求导公式进行证明,能利用公式求简单复合函数的导数即可.

4.为使学生能够熟练运用公式求导和掌握相关的运算,应提供时机让学生进行适当的有针对性的训练,但必须避免过量的形式化练习.

 

3.导数在研究函数中的应用

1.结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.

2.结合函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以及在给定区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值.

1.体会数形结合思想在导数运用中的作用.

2.会求一些简单函数的单调区间、极大(小)值、最大(小)值;并能运用导数研究较简单函数的性质.

3.能运用导数的知识、思想方法,解决函数(数列)、不等式等相关的简单综合问题.

1.利用导数判断函数的单调性是导数应用的重点,教学中应选取具体的函数,利用它们的图象,借助几何直观通过实例探究,发现函数的导数与函数单调性之间的本质联系,学会用导数研究函数的单调性、确定函数的单调区间,进而完成对函数的最值(或极值)的教学.

2.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件是难点,教学中要通过足够的具体例子、图象等加以突破.通过训练,让学生明确函数在某点取得极值的条件,准确掌握求函数极值的步骤.对于函数的最大(小)值概念的理解、求法的掌握,仍然应以通过实例促进学生感知概念、体会方法的方式进行教学.与此同时,可适当引导学生体会极值与最值的联系与区别.

3.教学中要注意严格控制难度,避免过量的形式化的导数运算练习,重视导数在研究函数性质与实际生活中的应用,体会导数的思想及其内涵,帮助学生直观理解导数的背景、思想和作用.这部分内容突出对导数本质的认识,要求学生体会导数的思想及其内涵,培养学生以导数为工具研究函数的意识,须防止仅仅将导数作为一种规则和步骤来学习,而忽视它的思想和价值.

5.教学中要注意运用学生熟悉的数学问题与生产和生活中的实际问题,引导学生充分发挥导数的工具作用,结合实例及函数的图象,借助几何直观,充分感受导数在解决数学问题和实际问题中的应用,帮助学生增强数学应用的意识,促进学生全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值.

 

*4.生活中的优化问题举例

通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.

能通过建立函数模型,利用导数解决生活中一些简单的优化问题.

 

5.数学文化

收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料,并进行交流;体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值.

组织引导学生阅读资料时,可以让学生体会收集、整理资料的方法和过程;交流可以采取小组讨论、专题演讲和撰写书面材料等方式.

 

注:标注“*”的内容为《四川省普通高中新课程数学学科教学实施指导意见(试行)》中规定的选学内容


1-2

本模块包含统计案例、推理与证明、数系扩充与复数的引入和框图.

在必修课程统计内容学习的基础上,学生将在统计案例部分,通过对典型案例的讨论,了解和使用一些常用的统计方法,进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想,认识统计方法在决策中的应用.

推理与证明是数学的基本思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.推理一般包括合情推理和演绎推理.合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.归纳、类比是合情推理常用的思维方法,在解决问题的过程中,合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用,有利于创新意识的培养.演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成.证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明,数学结论的正确性必须通过逻辑推理、证明来保证,即在前提正确的基础上,通过正确使用推理规则得出结论.在本模块中,学生将通过对已学知识的回顾,进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异;体会数学证明的特点,了解数学证明的基本方法,包括直接证明的方法(如分析法、综合法)和间接证明的方法(如反证法);感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用,养成言之有理、论证有据的习惯.

数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程,同时体现了数学发生发展的客观需求和背景,复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充.在本模块中,学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性,学习复数的一些基本知识,体会数系扩充中人类理性思维的作用.

框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示,它的作用在于能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系.学习本章让学生了解流程图和结构图的特征,体验用框图表示数学问题解决过程以及事物发生、发展过程的优越性,提高抽象概括、逻辑思维、清晰表达和交流的能力.

内容标准

学习要求

教学建议

基本要求

发展要求

*1.统计案例

1.通过对典型案例(如肺癌与吸烟有关吗’’等)的探究,了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及初步应用.

2.通过对典型案例(如“质量控制”“新药是否有效”等)的探究,了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用.

3.通过对典型案例(如“昆虫分类”等)的探究,了解聚类分析的基本思想、方法及初步应用.

4.通过对典型案例(如“人的体重与身高的关系”等)的探究,进一步了回归的基本思想、方法及初步应用.

1.统计案例的教学重点是使学生感受统计分析的思想,了解统计学对社会生活和科学研究的重要性.对于统计案例部分的内容,只要求学生了解独立性检验、实际推断原理和假设检验、聚类分析和回归的基本思想及其初步应用,对于其理论基础不作要求,避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算.该部分应采用案例教学的方式,要注意控制难度.

2.教学中应鼓励学生多思考,遇到不同的实际问题应考虑原来的统计方法是否仍然适用,在不能适用的情况下要探索新的统计方法,从而体会统计方法的有效性、局限性与可改进性.

3.在实际问题中,两个变量不一定都是线性相关关系,它们可能是指数关系、对数关系等非线性相关关系.在某些情况下可以借助函数变换把非线性相关关系转化为线性相关关系,用线性回归模型解决,这样的处理可以开阔学生的思路,培养学生的探索创新精神.在教学时还可以使学生体会到,对于需要解决的实际问题而言,没有一个模型是完全正确的,模型只有好坏之分,没有对错之别,任何数学模型只能是近似描述实际问题,统计学追求的是根据问题的实际背景寻求描述效果更好的模型.独立性检验的教学应认真考虑如何结合例题介绍独立性检验的基本思想,可以与反证法作对比,以加深学生对独立性检验思想的理解.

4.在本部分的教学过程中,应鼓励学生经历数据处理的全过程,要尽量使用统计图直观展示两个变量的关系,培养学生对数据的直观感觉,认识统计方法的特点(如统计推断可能犯错误,估计结果的随机性),体会统计方法应用的广泛性.应尽量给学生提供一定的实践活动机会,可结合数学建模的活动,选择一个案例,要求学生亲自实践.

教学中,应鼓励学生使用计算器、计算机等现代技术手段来处理数据,有条件的学校还可运用一些常见的统计软件解决实际问题.

2.推理与证明

1.合情推理与演绎推理

1.结合已学过的数学实例和生活中的实例,了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用.

2.结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.

3.通过具体实例,了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

1.了解一般意义上的类比与归纳.

2.初步具备运用合情推理进行思考、获取结论,并运用演绎推理对获得结论真假进行判断或证明的能力.

教学中应通过实例,让学生感知合情推理和演绎推理,了解合情推理和演绎推理的区别与联系;让学生了解一般意义上的类比和归纳,引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论,并用演绎推理确认所得结论的正确性,或者用反例推翻错误的猜想.教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理,而不追求对概念的抽象表述.

2.直接证明与间接证明

1.结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点.

2.结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程、特点.

了解综合法、分析法、综合分析法、反证法的联系与区别,能用综合法证明立体几何中的一些简单命题.

1直接证明的教学应引导学生认识分析法和综合法的特点、联系、区别;间接证明的教学应引导学生认识反证法的特点

2.对于具体证明的教学,可从已学知识中的问题出发,体会合情推理和演绎推理两种推理方法的应用.推理过程中,要注意对学生在文字语言表述、数学语言应用,以及规范书写证明过程等方面的要求.

3.本模块中设置的证明内容是对学生已学过的基本证明方法的总结.在教学中,应通过实例,引导学生认识各种证明方法的特点,体会证明的必要性,不宜对证明的技巧性作过高要求.

3.数学文化

1.通过对实例的介绍(如欧几里德《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律),体会公理化思想.

2.介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用.

1.让学生对现代信息技术在数学中的运用有所了解,激发其探索新领域的兴趣.

2.学生通过对所列经典著作的了解,体会公理化体系,并在所学数学内容的相关证明中实际感受,以促进学生形成必要的数学素养,感受数学文化的独特魅力.

3.数系的扩充与复数的引入

1.数系的扩充和复数的基本概念

1.在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.

2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.

3.了解复数的代数表示法及其几何意义.

1.在复数概念的教学中,应通过实例让学生明确数系扩充和引入复数的必要性,了解扩充数系的基本规律和原则,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论等)在数系扩充过程中的作用.对感兴趣的学生,可以安排一些引申的内容,如求x3 = 1的根、介绍代数学基本定理等,但必须控制难度,且不作测试要求.

2.教学时可通过自我辨析、训练等手段,促进学生了解复数的分类,理解复数的实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等相关概念及复数相等的条件,让学生能够进行相关的判断和简单的运用即可.

3.复数几何意义的相关教学,只要求学生知道复数、复平面内的点、复平面内的向量的对应关系,知道复数的模就是其对应向量的模,不必涉及模、共轭复数的性质等.

2.复数代数形式的四则运算

能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

1.复数代数形式加减运算的几何意义可类比向量加减法运算的几何意义得到,它使复数的运算得到直观的几何解释.

2.复数代数形式的四则运算是本章的重点,教学中应让学生熟练进行几种基本结构的代数运算,但教学时必须控制范围和难度,应避免繁琐的计算与技巧训练,不能盲目拓展.

3.为了便于学生更好地领会和运用运算法则,教学时应加强复数与实数、有理数、平面向量及其加减运算、多项式及其加减运算之间的联系的对比,体会这些运算的共性;复数加减运算的几何意义可由向量加减法的几何意义自然地得到,教学时不必涉及复数乘除法的几何意义

4.在复数表示形式的教学中,只要求学习复数的代数表示形式,不必引进复数的三角表示式,也不必涉及复数的运算关系表示复平面上的点的轨迹等.

4.框图

1.流程图

1.通过具体实例,进一步认识程序框图.

2.通过具体实例,了解工序流程图(即统筹图).

3.能绘制简单实际问题的流程图,体会流程图在解决实际问题中的作用.

1.从分析实例人手,引导学生运用框图表示数学计算与证明过程中的主要思路与步骤、实际问题中的工序流程、某一数学知识系统的结构关系等.

2.引导学生在运用框图的过程中理解流程图的特征,通过具体问题的解决掌握流程图的用法.

3.通过对程序框图描述的算法和文字语言描述的算法步骤的对比,促进学生体验用框图表示解决问题过程的优越性.

2.结构图

1.通过实例,了解结构图;运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息.

2.结合作出的结构图与他人进行交流,体会结构图在揭示事物联系中的作用.

1.在运用框图的过程中,以实际感受和体验为基础,帮助学生理解结构图的特征.

2.通过具体问题的解决,促进学生在动手操作的基础上掌握结构图的用法.

注:标注“*”的内容为《四川省普通高中新课程数学学科教学实施指导意见(试行)》中规定的选学内容


2-1

本模块的内容包括常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何.

学生通过学习了解命题的逆命题、否命题与逆否命题及其相互关系,理解必要条件、充分条件与充要条件的意义,了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义,理解全称量词与存在量词等有关概念,学会使用常用的逻辑用语准确地表达数学内容;体会逻辑用语在表述和论证中的作用,形成自觉地利用逻辑知识对一些命题间的逻辑关系进行分析和推理的意识,发展学生利用数学语言准确贴切地描述问题、规范简洁地阐述论证的能力,从而能够更好地进行数学交流;激发学生数学学习的兴趣,优化学生数学思维的品质,帮助学生逐步养成良好的学习习惯.

学生通过学习了解圆锥曲线与二次方程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,会求圆锥曲线的标准方程,了解曲线与方程的对应关系,能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题(例如直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问题;感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用,进一步体会解析几何的基本思想──运用代数方法研究几何问题的思想,增强数学应用的意识,提高数学建模的能力;了解平面解析几何产生和发展的过程及其对数学发展和社会发展的推动作用,帮助学生逐步养成独立钻研的习惯,形成克服困难的意志和毅力,进而具有锲而不舍的钻研精神和科学态度,树立运动变化和相互联系的辩证唯物主义观点.

学生通过学习了解空间向量的有关概念,了解空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解、线性运算、数量积及其它们的坐标表示等基础知识,学会运用空间向量处理立体几何中有关直线、平面位置关系与度量的问题;体会向量方法在研究几何图形中的作用,培养和发展学生的推理论证能力、逻辑思维能力、运用向量语言进行表达和交流的能力、空间想像能力和几何直观能力;让学生在经历向量及其运算由平面向空间推广的过程和运用向量方法解决空间几何问题的过程中,感悟运算、推理在探索和发现中的作用,体会数学研究方法的模式化特点,感受理性思维的力量,提高数学素养.

内容

标准

学习要求

教学建议

 

基本要求

发展

要求

1.常用逻辑用语

1.命

1了解命题的逆命题、否命题与逆否命题

2理解必要条件、充分条件与充要条件的意义,会分析四种命题的相互关系

1能写出简单命题的逆命题、否命题及逆否命题,会分析四种命题的相互关系.

2.会利用互为逆否命题的两个命题之间的等价关系来判断命题的真假及解决简单的数学问题.

3结合四种命题形式,理解充分条件、必要条件、充要条件的判定方法

1.具体要求学生了解命题的概念,会判断一些简单命题的真假;理解“若p,则q”形式命题的条件与结论;了解命题的逆命题、否命题、逆否命题的有关概念,会写出 “若p,则q”形式的命题的逆命题、否命题、逆否命题;会分析四种命题的相互关系;理解必要条件、充分条件与充要条件的意义以及充分条件和必要条件之间的区别和联系;了解充分条件、必要条件与四种命题的真假之间的密切关系

2.通过能清晰分辨条件和结论的命题实例,阐述命题的概念.以生活和数学中的丰富实例,说明四种命题形式的客观存在,使学生进一步认识到研究四种命题的必要性和现实意义,体会逻辑用语在表述和论证中的作用.

3.对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求作一般性的了解,应以学生熟悉的、与数学有关的命题为载体进行训练,引导学生会写出命题的逆命题、否命题、逆否命题,并能判断其真假,而不需要进行形式上的加深讨论.教学中仅要求会写出易于改写成“若p,则q”形式的命题的逆命题、否命题、逆否命题.

4.通过实例的分析,总结得出四种命题之间的相互关系,帮助学生弄清原命题与逆否命题、逆命题与否命题是同真假命题,注意引导学生体验规律的探索、发现过程.

5.引导学生学会利用“互为逆否命题的两个命题的等价关系”来判断具体命题的真假,并能解决简单的数学问题.

6.数学中的充分条件、必要条件的概念,与日常生活中的“充分”“必要”的意义相近,所以教学时,既要结合数学例子进行,还应该借助日常生活中的例子进一步内化.

7.在“若p,则q形式的命题为真命题的基础上引入充分条件、必要条件的概念,以学生熟知的具体实例为载体,分析条件与结论之间的关系,可以结合集合的知识,运用Venn图来直观描述充分条件、必要条件的关系,促进学生对必要条件、充分条件与充要条件的理解.

8.对“充分条件、必要条件与充要条件”的判断,只要求掌握“若p,则q”形式命题的判断.这里的pq都是不含逻辑联结词“或”、“且”的,不要随意拔高要求.

9充分条件、必要条件与命题的四种形式有密切关系.(1)形如“pq的充要条件”的命题是相当普遍的,要证明命题的条件是充要条件,即既要证明原命题,又要证明其逆否命题.(2)在“若p,则q”的命题中,存在以下四种关系:pq的充分条件,但不是q的必要条件;pq 的必要条件,但不是q的充分条件;pq的充分必要条件;pq 的既非充分又非必要条件.

 

2.简

通过数学实例,了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义

结合阅读材料,探究“或”“且” “非”与集合中的“并”“交” “补”之间的关系

1.要求学生能正确利用“或”“且” “非”表述相关的数学命题;能准确区分命题的否定与否命题.

2.引导学生利用逻辑联结词“或”“且”“非”构造新命题,通过分析新命题的真假,理解“或”“且”“非”的含义.可适当联系集合与不等式的相关知识进行讲解,让学生在探究新旧知识关系的同时,提升对数学知识的理解.

3.不涉及复合命题的概念.p,则q形式命题中的pq都不含有逻辑联结词”“”“,并且pq本身也不是r,则s形式的命题.

4.对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的了解,主要的功能是让学生学会用这些逻辑联结词有效地表达相关的数学内容.因此,内容的设计上要通过具体的数学实例展开,避免抽象地讨论.注意命题的否定与否命题的联系与区别.对于不是“p,则q”形式的命题,不要求讨论其否命题.

5引导学生学会用逻辑用语表达数学内容,体会运用逻辑用语表述数学内容的准确性和简洁性,使自己的思想、判断、推理的表达更具逻辑性,教学中应避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释,不必要求使用真值表

 

3.全

1通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义

2能正确地对含有一个量词的命题进行否定

初步理解全称量词与存在量词在构造数学命题中的作用,并能判断所构造命题的真假

1.要求学生通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词的含义及数学语言形式:(1"xMpx);(2$x0Mpx0).掌握含有一个量词的全称命题的否定形式及含义:$x0M?px0),以及掌握含一个量词的特称命题的否定形式及含义:"xM?px).能判断简单全称量词与存在量词相关的数学命题的真假性.

2.对一个命题,冠以不同的量词,得到的命题的属性是不同的:冠以全称量词得到全称命题,冠以存在量词得到特称命题.教学中应引导学生正确区分这两种命题,并能正确判断两种命题的真假.含有两个量词的命题,不要求学生掌握.

3.通过生活和数学中丰富的实例,让学生体会量词在数学和生活中的作用,理解全称量词与存在量词的意义,自觉提高利用全称量词与存在量词准确、简洁地表述数学内容的能力.注意引导学生在使用常用逻辑用语的过程中,掌握常用逻辑用语的用法,纠正出现的逻辑错误.

4.利用日常用语和学生熟悉的数学命题讲述对含有一个量词的命题进行否定的意义,对于量词,重在理解它们的含义,而不要追求形式化定义.要注意全称量词与存在量词在日常生活和数学中的不同表达形式.

5.在实践的基础上,深入理解含有一个量词的命题的否定,教会学生正确把握这种否定的形式化特征,并且只要求学生对含有一个量词的命题进行否定,通过实例让学生深刻理解全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题.

 

2

线

1.曲

线

1从特殊曲线的方程(如直线、圆等)概念中抽象出一般的曲线的方程的概念,理解曲线的方程与方程的曲线的意义.

2.结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系.

3.掌握坐标法和求曲线方程的一般步骤(流程图),会求曲线的方程.

4.通过曲线与方程的关系的探究,进一步体会数形结合的思想.

了解曲线方程的完备性与纯粹性,并在求解曲线的方程中应用

1.曲线与方程的教学应以学习过的曲线为主,注重让学生体会曲线与方程的对应关系,着重让学生感受数形结合的基本思想.

2.通过具体而适量的实际例子,引导学生体会坐标法的基本思想,归纳总结求曲线方程的基本步骤,探索、整理求曲线方程的常用方法,感受坐标法在研究几何问题中的作用.

3突出解析几何的基本思想概念→建立方程→探求性质.从特殊曲线的方程(如圆、直线、圆锥曲线等)概念中抽象出一般的曲线的方程的概念.对曲线与方程的学习,应关注到学生自身的发展与需要,让不同层次的学生有不同的收获.(1)通过求圆锥曲线的标准方程(后继),进一步感受曲线方程的概念,了解求曲线方程的基本方法(在必修部分虽有体现,但未充分说明).2)例2(将圆x2 + y2 = 4上的点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半,求所得曲线的方程,并说明它是什么曲线?)给出了确定曲线类型的新方法(原来的方法是运用概念,这里是由方程去判断).

4教学时只需要通过已经学过的几种曲线的方程与曲线的关系进行概括,并通过具体问题让学生适当感受,在应用中加深体会,不要在定义方面过多深究

 

2.椭

1.了解椭圆的实际背景,感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程,掌握椭圆的定义、焦点、焦距等基本概念.

3.掌握椭圆的标准方程,能根据已知条件求出椭圆的标准方程.

4.能求出椭圆上满足某些条件的点的坐标.

5.能利用椭圆的标准方程研究椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率等).

6.能根据椭圆的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题.

7.经历由轨迹特征抽象成数量关系、形成方程的探究过程,在实施数形转化解决问题的过程中,培养抽象概括能力和逻辑思维能力,养成独立思考的良好品质.

1.体会利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质的方法,并能初步加以应用.

2.通过椭圆标准方程的建立与化简过程,培养学生运算推理能力.

1.通过生活实例或利用多媒体演示(卫星的运行轨迹、平面截圆锥得到圆锥曲线),让学生经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,通过操作、观察、探究揭示椭圆的几何特征,理解并掌握椭圆的定义.明确椭圆定义中限定条件的作用和影响,强化利用反例理解定义(如两定点的距离与定长的大小关系).

2突出建立椭圆标准方程的全过程:

1建系-设点-列式(限制条件)- 代入坐标(得方程)- 化简方程.

2)对于“由上述过程可知,椭圆上的点的坐标(xy)都满足上面这个方程,并且满足上面这个方程的点都在已知的椭圆上”.只要求让学生从方程同解的角度认同即可,不要求提及纯粹性和完备性的概念.(3)参数b的引入在这里只需说明是为了简化方程形式,到后面的学习中再说明其几何意义.(4)焦点在y轴上的椭圆标准方程可由学生独立研究自行推出(不妨先作猜想,或进行变量代换).5)在方程的推导过程中,方程为两个根式的和等于一个非零常数,要注意说明化简这类方程的必要性和方法,培养学生的运算能力,体会数学美.

3.对求给定条件的椭圆的标准方程,可引导学生根据已知条件利用待定系数法求出ab的值,然后得出相应的标准方程.

4.利用椭圆标准方程研究其几何性质时应关注以下两点:一是掌握椭圆的基本性质以及方程中不变量的几何意义和相互关系,二是希望通过对方程的讨论,领悟解析几何是如何用代数方法来研究曲线几何性质的.由于是第一次系统地用代数的方法研究曲线的几何性质,应注意控制教学进度与难度.

1突出用代数方法(方程)研究几何问题的解析几何的基本思想.如:范围、对称性等.

2顶点是椭圆与对称轴的交点,不能认为最高(低)点、最左(右)点就是顶点,也不能认为顶点就一定是椭圆与坐标轴的交点.

3 在实验的过程中让学生感受和理解离心率的几何意义(可引导有兴趣和能力的学生思考:直观上椭圆的扁平程度本可用来刻画,为什么还要用来刻画)

 

3.双

线

1.了解双曲线的实际背景,体会双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

2.了解双曲线的定义、焦点、焦距等基本概念.

3.了解双曲线的标准方程,能根据已知条件求出双曲线的基本量.

4知道双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等).

5.会利用双曲线的几何性质求双曲线的标准方程.

6.能根据双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题.

1.了解双曲线与椭圆的区别和联系.

2.初步步体会通过双曲线方程研究图形几何性质的方法.

1学习双曲线时要注意与椭圆进行类比,通过类比、直观操作、观察模型等了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道双曲线的有关性质.

1)教学时,在教和学两个方面,都要突出双曲线和椭圆联系,从过程、结论、方法各个层面与椭圆进行类比.概念教学仍然着重强调限定条件的作用、运用反例深化理解

2双曲线的范围:由,得 1这表明双曲线在不等式xax≤-a所表示的平面区域内.,可知,即有 表明双曲线位于两条相交直线所围成的的区域内,范围限定更精确,也为渐近线的引入作好了铺垫..

3双曲线离心率的几何意义:与椭圆类比提出问题,通过数形结合、分析发现结论.因为双曲线的图形夹在两条渐近线间,所以越大,即越大,双曲线的开口就越大;反之越小,双曲线的开口就越小,即反映了双曲线的开口的大小.

2.由于学生已有了求椭圆标准方程的经验,所以在推导双曲线的标准方程时,应尽可能让学生自己动手推导.

3.类比椭圆的几何性质研究双曲线的几何性质,引导学生在观察双曲线图形的同时,结合方程探究双曲线的简单几何性质.对于双曲线所特有的渐近线,可以利用多媒体演示,直观反映其“渐近”的特征.

 

4.抛

线

1.了解抛物线的实际背景,感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

2.掌握抛物线的定义、准线等基本概念,会建立并掌握抛物线的标准方程.

3.能根据已知条件求抛物线的标准方程.

4.掌握抛物线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率等).

5.会利用抛物线的方程解决简单的实际问题.

1.知道二次函数图象(抛物线)的几何性质.

2.了解椭圆、双曲线、抛物线的一些共同性质.

1.通过丰富的实例(投掷铅球的运行轨迹、探照灯的镜面),使学生了解抛物线的背景与应用,引导学生掌握抛物线的定义;有条件的学校可借助计算机,向学生展示用平面截圆锥得到抛物线的过程,使学生加深对抛物线定义的理解,掌握抛物线的定义.

2.让学生独立地探索建立抛物线标准方程的过程,掌握求抛物线标准方程的方法;对于在已知条件下求抛物线的方程,引导学生要考虑到抛物线标准方程的四种形式,培养其思维的严谨性.

3关注抛物线方程与几何性质的特殊性:

1)建立抛物线标准方程时坐标系的合理选择.让学生在独立探索的过程中认识到:建立抛物线的方程,关键是选择适当的坐标系.

2)注意与椭圆、双曲线的联系与区别:

方程特点:无常数项,一个一次项,一个二次项.

图形特征:过原点,一条对称轴,非中心对称.

4.通过对具体实例的教学,引导学生学会利用定义解决数学问题,以便加深对抛物线定义的理解,感受到抛物线在解决实际问题中的作用.

 

5.圆锥曲线的简单应用

1.掌握直线与圆锥曲线的位置关系.

2会求两条曲线的交点坐标,并能解决较简单的相关问题.

3.能解决圆锥曲线在实际中的一些简单应用,进一步提升“应用数学”的意识,提高解决问题的能力.

4.由曲线(形)到方程(数),又由方程研究曲线,感受数形结合思想的应用,会用数形结合思想解决问题.

1知道圆锥曲线的内涵与外延、联系与区别

2.掌握用代数方法研究直线与圆锥曲线位置关系的思路与方法

1圆锥曲线的生成定义.

1)形成定义的生长点:抛物线.由平面内到一个定点F的距离和到一条定直线lF不在l上)的距离之比等于1的动点P的轨迹是抛物线引出问题,并引导学生思考:当这个比值是一个不等于1的常数时,动点P的轨迹又是什么曲线呢?

2)过程:按照特殊到一般的思路进行实验探索,探究得出圆锥曲线的定义.

2.通过圆锥曲线与方程的学习,让学生理解曲线的交点坐标就是曲线方程的公共实数解,可以通过求解曲线方程组得到曲线的交点坐标.

3.由实例的教学,帮助学生学会应用方程组的知识研究直线与圆锥曲线的位置关系,并解决相关的简单问题.在解决与弦长有关的问题时,引导学生发现利用整体思想代换x1 + x2x1x2,让学生体会到借助于一元二次方程根与系数的关系,能简化步骤,避免繁杂运算,提高效率.

4.通过生活中丰富的实例(如投掷铅球的运行轨迹.卫星的运行轨迹等),引导学生利用坐标法解决生活中的实际问题,培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力,形成善于独立思考的良好品质.

 

3空间向量与立体几何

1.空

1.了解空间向量及相关概念.

2.掌握空间向量的加减运算及其运算律.

3.掌握空间向量数乘运算的意义和运算律及其坐标表示.

4.理解共线(平行)向量、共面向量的意义,能利用它们证明简单的空间向量共线和共面的问题.

5.了解直线的方向向量的意义,理解空间向量的长度和夹角的意义.

6.掌握空间向量的数量积、运算律及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.

7.能利用空间向量的运算,解决线线、线面垂直、两点间的距离和线段长度等相关问题.

8.了解空间向量基本定理及其意义.

9.掌握空间向量的正交分解,及其坐标表示;会在简单的问题中选用合适的基底表示其它向量.

10.掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间的距离公式,并会解决简单的立体几何问题.

1能熟练地进行空间向量的线性运算及与坐标表示的互化

2.向量的数量积的灵活应用.

1.向量不仅是一个计算工具,还是连接代数与几何的桥粱,是数形结合思想的一个具体体现.一方面,向量的运算可以解决几何中的问题;另一方面,对于代数问题,可以通过向量给予几何解释.

2一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.共面向量还可以理解为平行于同一平面的向量.为此,要先规定向量与平面平行的含义:若表示向量的有向线段平行于平面或在平面内,则称向量与平面平行.

3.空间向量中的共面向量定理与平面向量基本定理不仅形式相同,而且本质也一样.这是因为任意两个空间向量ab都可以平移到同一个平面,当ab不共线时,可以作为基向量,向量p与它们共面,也就是向量p可以平移到这个平面,所以就能用ab线性表示.

4向量共线定理表明,任意一个向量可以用与它共线的一个非零向量来线性表示,而且这种表示是唯一的,所以共面向量定理是平面向量基本定理的推广,可以看成(在一定范围内的)向量分解唯一性定理由一维向二维的推广.由此,可以向学生提出:在空间向量中,我们还可以作怎样的推广呢?引导学生积极主动探索.

空间向量基本定理表明,任意一个空间向量可以用不共面的三个已知向量来线性表示,而且这种表示是唯一的.因此,空间向量基本定理也称为空间向量分解定理,它为空间向量的坐标表示奠定了基础.

空间向量基本定理与平面向量基本定理类似,区别仅在于基底中多了一个向量,从而分解结果中也多了一.定理中存在性的证明与平面向量基本定理的思路、步骤基本相同,唯一性的证明要用到反证法,只要求学生了解.

5.由于任意两个空间向量都可以转化为平面向量,所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和符号、两个空间向量的数量积等等,都与平面向量相同.教学中,应引导学生自己将平面向量中数量积的有关概念、运算和法则推广到空间向量.

6.正确使用两个向量夹角的符号〈ab〉.例如,〈=BAC

7.只要求了解空间向量数量积的几何意义,空间向量数量积运算律的证明不作要求(向量的数量积是实施向量等式向数量等式转化的重要途径

 

2.空间

的应用

1.能利用空间向量表示空间的点、直线、平面等元素,建立立体图形与空间向量之间的联系.

2.理解平面的法向量的意义.

3.通过具体的实例,明确用空间向量解决立体几何问题的三步曲

4.能利用直线的方向向量解决两直线平行、垂直及夹角的问题,利用法向量解决两平面平行、垂直及二面角的问题,能通过选择适当的坐标系,解决简单的立体几何问题.

能根据具体的几何体建立恰当的空间直角坐标系,把空间的位置关系和度量关系转化为用向量方法处理

1空间线、面的位置关系中,角反映了它们在方向上的差异.因此,用向量来刻画这种差异,就先要规定直线、平面的方向,从而引入直线的方向向量和平面的法向量.

直线的方向向量不止一个,这些向量是共线向量;两条平行直线的方向向量是共线向量.因此,研究空间线线、线面的平行与垂直关系,即研究它们在方向上的差异程度时,可以用直线的方向向量来刻画直线的方向

平面的法向量不止一个,这些向量是共线向量;两个平行平面的法向量是共线向量,也就是说,两个平行平面的方向是相同的.因此,研究空间线面、面面的平行与垂直关系,即只需研究它们在方向上的差异程度时,就可以用平面的法向量来刻画平面的方向

2将空间线线、线面、面面的位置关系,用直线的方向向量和平面的法向量来表述,是一个符号化的过程.

用向量语言表示空间线线、线面、面面的位置关系方法是:设空间两条直线l1l2的方向向量e1e2,两个平面a1a2的法向量n1n2,则有下表:

平行

垂直

l1l2

e1e2

e1e2

l1a1

e1n1

e1n1

a1a2

n1n2

n1n2

3教学过程中,要通过具体的例子和适量的训练,引导、帮助学生:

1)领会并掌握向量方法“三步曲”(解决立体几何问题的一般方法).在学习立体几何初步的基础上,通过空间向量这一载体,将立体几何中的演绎、证明转化为计算,进一步体会向量方法在研究几何问题中的作用.

2)归纳出立体几何问题的主要类型:①空间位置关系(平行和垂直关系)的判断与论证;②空间有关量的计算,如求空间角等.

3)掌握用向量方法解决立体几何问题的基本步骤:①把几何问题转化为向量问题,②进行向量运算,由向量运算结果解释几何问题;从中体会“向量方法”与“坐标方法”在解决立体几何问题中的作用,在学习立体几何初步的基础上,通过空间向量这一载体,通过向量运算解决立体几何中的一些证明问题,提高空间想像能力、几何直观能力及推理论证能力.

 


22[1]*

本模块的主要内容是导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入.

微积分的创立是数学发展过程中的里程碑,它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期,为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.导数概念是微积分的核心概念之一,它有极其丰富的实际背景和广泛的应用.在本模块中,学生将通过大量实例,经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程,理解导数概念,了解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用,初步了解定积分的概念,为以后进一步学习微积分打下基础.通过该模块的学习,学生将体会导数的思想及其丰富内涵,感受导数在解决实际问题中的作用,了解微积分的文化价值.

推理与证明是数学的基本思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.推理一般包括合情推理和演绎推理.合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程,归纳、类比是合情推理常用的思维方法.在解决问题的过程中,合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用,有利于创新意识的培养.演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等),按照严格的逻辑法则得到新的结论的推理过程.合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成.证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明,数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证,即在前提正确的基础上,通过正确使用推理规则得出结论.在本模块中,学生将通过对已学知识的回顾,进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异;体会数学证明的特点,了解数学证明的基本方法,包括直接证明的方法(如分析法、综合法、数学归纳法)和间接证明的方法(如反证法);感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用,养成言之有理、论证有据的习惯.

数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程,同时体现了数学发生发展的客观需求和背景,复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充.在本模块中,学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性,学习复数的一些基本知识,体会数系扩充中人类理性思维的作用.

内容标准

学习要求

教学建议

基本要求

发展要求

1.导数及其应用

1.导数的概念及其几何意义

1.通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵.

2.通过函数图象直观地理解导数的几何意义.

1.理解导数的概念.

2.体会逼近思想和以直代曲的转化方法.

3.以导数的几何意义、物理意义为基础,运用导数概念解决相关问题.

1.导数是微积分的核心内容,它有着极其丰富的实际背景和广泛的应用.教学中,可以通过研究曲线的切线、增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等能直接反映导数思想及本质的、学生熟悉的实例,引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,认识并理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,增强导数几何意义的认识和理解.

2.现行导数概念是在没有全面学习极限的情况下出现的,所以要注重导数概念的本质,强调导数的思想、物理意义、几何意义以及应用.在导数概念的教学时,要注意通过大量的实例,引导学生理解“瞬时”二字的含义,让学生领会导数思想的核心在于瞬时变化率的刻画.

3.导数概念教学的操作可以按下列程序进行:(1) 从生活实例中引入平均变化率的概念研究运动和变化,离不开变化率任何事物的变化可以由变化率来描述,从而引出平均变化率的概念(也就是一个变量在一定范围内的变化即相对改变)(2) 导数的概念是本部分的核心,教学时必须尽可能强化导数的概念及概念的形成在某时间段的平均变化率无法反映、刻画某时刻的变化率,只有当时间段无限缩短并无限靠近某时刻时方可得到该时刻的变化率即瞬时变化率,运用逼近思想考察瞬时变化率即可明确导数的概念的本质(3) 注重导数的几何意义,通过大量实例研究导数概念.在函数可导的范围内,局部使用以直代曲即用曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线,通过简单的、熟悉的直线的研究解决复杂的、陌生的问题,贯穿了以直代曲、无限逼近的思想方法,这样从形的角度诠释导数,深刻反映了数形结合思想的广泛、灵活运用,也深化了对导数概念的掌握

4.本部分内容在微积分理论等方面要求不高,教学时切勿追求理论的严密性和过多的技巧,关键是理解导数的内涵,注重思想、过程及应用.根据教学实际与信息技术进行合理的整合,促进对导数意义的理解,例如:以直代曲、“逼近”过程的展示、函数单调性与导数符号关系、增长快慢与导数的绝对值大小的关系、导数几何意义的直观展示等.

5.本模块的教学必须注意把握好教学要求,在计算的难度、应用的深度和广度、函数的类型等方面都应该针对学生实际进行合理控制.

2.导数的运算

1.能根据导数定义求函数y = cy = xy = x2y = x3的导数.

2.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如fax + b))的导数.

3.会使用导数公式表.

1.理解几个常见函数的导数的几何意义,能准确记忆基本初等函数的导数公式和导数运算法则,熟练求解简单函数的导数

2.能根据导数的定义求某些(不仅限于形如fax + b))简单复合函数的导数.

3.能运用导数解决一些简单的实际应用问题.

1.建立了导数的概念后,要实实在在引导学生动脑、动手推导几个常见初等函数(如y = cy = xy = x2y = x3)的导数公式,在形式化训练中规范要求,从而加深对导数概念的认识和理解,并从中领悟求导数的基本思想.

2.教学中不需补充导数运算法则的证明,只要求能感知、记忆、理解并运用基本初等函数的导数公式和运算法则求一些简单函数的导数即可.

3.教学时不要求对复合函数的求导公式进行证明,能利用公式求简单复合函数的导数即可.

4.教学中应提供时机让学生进行适当的有针对性的训练,促进学生熟练运用公式求导和掌握相关的运算,但必须避免单一重复的过量的形式化练习.

3.导数在研究函数中的应用

1.结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间.

2.结合函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值,以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值.

3.体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.

1.体会数形结合思想在导数运用中的作用.

2.会求一些简单函数的单调区间、极大(小)值、最大(小)值;并能运用导数研究函数的一般性质.

3.能运用导数的知识、思想方法,解决函数(数列)、不等式相关的综合问题问题.

1.利用导数判断函数的单调性是导数应用的重点,教学中应选取具体的函数,利用它们的图象,借助几何直观通过实例探究,发现函数的导数与函数单调性之间的本质联系,学会用导数研究函数的单调性、确定函数的单调区间,进而完成对函数的最值(或极值)的教学.

2.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件是难点,教学中要通过具体例子、图象等加以突破.通过训练,让学生明确函数在某点取得极值的条件,准确掌握求函数极值的步骤.对于函数的最大(小)值概念的理解、求法的掌握,仍然应以通过实例促进学生感知概念、体会方法的方式进行教学,与此同时,可适当引导学生体会极值与最值的联系与区别.

3.教师应引导学生在解决具体问题的过程中,结合实例及函数的图象,借助几何直观,将研究函数的导数方法与初等方法进行对照比较,让学生体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.

4.教学中要重视导数在研究函数性质与实际生活中的应用,帮助学生直观理解导数的背景、思想和作用,体会导数的思想及其内涵,突出对导数本质的认识,培养学生以导数为工具研究函数的意识,避免仅仅将导数作为一种规则和步骤来学习的情况.

5.教学中要注意运用学生熟悉的数学问题,引导学生充分感受导数在解决数学问题和实际问题中的应用,体会导数的工具作用,帮助学生增强数学应用的意识,促进学生全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值.

*4.生活中的优化问题举例

通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.

能通过建立函数模型,利用导数解决生活中一些简单的优化问题.

*5定积分与微积分基本定理

1.通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等),从问题情境中了解定积分的实际背景;借助几何直观体会定积分的基本思想,初步了解定积分的概念.

2.通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系),直观了解微积分基本定理的含义.

1.体会“左右夹逼”方法,从直观上感知近似代替的合理性.

2.初步体会导数和定积分之间的内在联系.

3.体会微积分工具在数学与物理等问题上的应用,并体会其应用的思想和方法.

1.对于定积分,教科书给出的用定义计算定积分的函数都非常简单,而且和导数一样,这种计算方法的目的在于让学生了解定积分的概念.利用微积分基本定理计算定积分的基础是导数公式,由于导数公式有限而且没有讲原函数等知识,故对于定积分的计算要求很简单,基本上都是一些通过观察能想到原函数的函数.

2.应用方面,利用定积分计算简单的平面图形的面积,不涉及旋转体;关于生活中的问题,尽量选取背景比较简单,学生比较熟悉的物理问题,像膨胀率、速度、温度变化、变力作功等.

3.本部分内容在微积分理论等方面要求不高,教学时切勿追求理论的严密性和过多的技巧,关键是理解定积分概念的内涵,注重思想、过程及应用.根据教学实际与信息技术进行合理的整合,促进对定积分意义的理解.

*6.数学文化

收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料,并进行交流;体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值.

组织引导学生阅读资料时,可以让学生体会收集、整理资料的方法和过程;交流可以采取小组讨论、专题演讲和撰写书面材料等方式.

*2.推理与证明

1.合情推理与演绎推理

1.结合已学过的数学实例和生活中的实例,了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用.

2.结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.

3.通过具体实例,了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

1.了解一般意义上的类比与归纳.

2.初步具备运用合情推理进行思考、获取结论,并运用演绎推理对获得结论真假进行判断或证明的能力.

教学中应通过实例,让学生感知合情推理和演绎推理,了解合情推理和演绎推理的区别与联系;让学生了解一般意义上的类比和归纳,引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论,并用演绎推理确认所得结论的正确性,或者用反例推翻错误的猜想.教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理,而不追求对概念的抽象表述.

2.直接证明与间接证明

1.结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点.

2.结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程、特点.

了解综合法、分析法、综合分析法、反证法的联系与区别,能用综合法证明立体几何中的一些简单命题.

1直接证明的教学应引导学生认识分析法和综合法的特点、联系、区别;间接证明的教学应引导学生认识反证法的特点

2.对于具体证明的教学,可从已学知识中的问题出发,体会合情推理和演绎推理两种推理方法的应用.推理过程中,要注意对学生在文字语言表述、数学语言应用,以及规范书写证明过程等方面的要求.

3.本模块中设置的证明内容是对学生已学过的基本证明方法的总结.在教学中,应通过实例,引导学生认识各种证明方法的特点,体会证明的必要性,不宜对证明的技巧性作过高要求.

3.数学归纳法

了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

运用数学归纳法解决一些与自然数有关的简单的数学问题.

通过具体实例让学生了解数学归纳法的原理,对证明的问题仅限于“(1)验证Pn0)成立;(2)假设Pk)成立推出Pk +1)也成立.”的类型,注意控制涉及问题及方法使用的难度.

4.数学文化

1.通过对实例的介绍(如欧几里德《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律),体会公理化思想.

2.介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用.

1.让学生对现代信息技术在数学中的运用有所了解,激发其探索新领域的兴趣.

2.通过对所列经典著作的了解,让学生体会公理化体系,并在所学数学内容的相关证明中实际感受,以促进学生形成必要的数学素养,能够感受数学文化的独特魅力.

3.数系的扩充与复数的引入

1.数系的扩充和复数的基本概念

1.在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.

2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.

3.了解复数的代数表示法及其几何意义.

1.在复数概念的教学中,应通过实例让学生明确数系扩充和引入复数的必要性,了解扩充数系的基本规律和原则,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论等)在数系扩充过程中的作用.对感兴趣的学生,可以安排一些引申的内容,如求x3 = 1的根、介绍代数学基本定理等,但必须控制难度,且不作测试要求.

2.教学时可通过自我辨析、训练等手段,促进学生了解复数的分类,理解复数的实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等相关概念及复数相等的条件,让学生能够进行相关的判断和简单的运用即可.

3.复数几何意义的相关教学,只要求学生知道复数、复平面内的点、复平面内的向量的对应关系,知道复数的模就是其对应向量的模,不必涉及模、共轭复数的性质等.

2.复数代数形式的四则运算

能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

1.复数代数形式加减运算的几何意义可类比向量加减法运算的几何意义得到,它使复数的运算得到直观的几何解释.

2.复数代数形式的四则运算是本章的重点,教学中应让学生熟练进行几种基本结构的代数运算,但教学时必须控制范围和难度,应避免繁琐的计算与技巧训练,不能盲目拓展.

3.为了便于学生更好地领会和运用运算法则,教学时应加强复数与实数、有理数、平面向量及其加减运算、多项式及其加减运算之间的联系的对比,体会这些运算的共性;复数加减运算的几何意义可由向量加减法的几何意义自然地得到,教学时不必涉及复数乘除法的几何意义

4.在复数表示形式的教学中,只要求学习复数的代数表示形式,不必引进复数的三角表示式,也不必涉及复数的运算关系表示复平面上的点的轨迹等.

注:标注“*”的内容为《四川省普通高中新课程数学学科教学实施指导意见(试行)》中规定的选学内容


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本模块的主要内容是计数原理、统计案例、概率.

计数问题是数学的重要研究对象之一,分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法,也称为基本计数原理,它们为解决很多实际问题提供了思想和工具.在本模块的计数原理的学习中,学生将学习计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用,了解计数与现实生活的联系,会解决简单的计数问题.

在必修课程学习概率的基础上,学生在本部分将学习某些离散型随机变量分布列及其均值、方差等内容,初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法,并能用所学知识解决一些简单的实际问题,进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点,初步形成用随机观念观察、分析问题的意识.

在必修课程统计内容的基础上,学生将在统计案例部分,通过典型案例进一步学习回归分析与独立性检验的基本思想、方法及其初步应用,进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想,认识统计方法在决策中的应用.

内容标准

学习要求

教学建议

基本要求

发展要求

1.计

数原理

1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理

1.通过实例,总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理.

2.能根据具体问题的特征,正确地区分“分类”或“分步”,选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题.

1.能根据问题的特征选择相应的计数原理.

2.能合理运用两个计数原理解决各种背景下涉及分类或分步的简单计数问题.

1.本章重点是两个计数原理,排列、组合的意义及排列数、组合数计算公式,二项式定理,其中两个计数原理是最基本的.难点是正确运用两个计数原理以及排列、组合概念分析和解决问题.计数原理不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据,也是后续知识产生与发展的基础,其基本思想方法贯穿本章内容的始终.当面临一个复杂问题时,通过分类或分步将它分解成为一些简单的问题,先解决简单问题,然后再将它们整合起来得到整个问题的解决,这是一种重要而基本的思想方法.因此,理解和掌握两个计数原理,是学好本章内容的关键.

2.计数原理在解决问题时具有很大的灵活性,是训练学生能力的好素材,在教学时应注意强化两个计数原理的地位,引导学生从熟悉的、具体的实例中归纳总结基本结论,务必让学生经历概念的形成过程,切忌由老师阐述概念条文、解释概念,然后讲解例题,最后让学生模仿练习的教学模式.因此,从问题情境引出课题后,可先通过列举等方式写出所有可能情况,之后引导学生分析问题的特点,提出计数的方法,并概括到一般原理上.其中,让学生自己举一些例子,说明计数的方法,概括不同事例的共同特征,都是需要经历的过程.

3.两个计数原理的理解并不困难,但是根据具体问题的特征选择对应的原理,特别是综合应用两个计数原理对学生而言,具备一定的难度.因此计数原理的教学需要由浅入深地安排丰富的例题,并辅以合适的训练,引导学生逐步体会“分类”与“分步”的区别,体会两个计数原理的基本思想及其应用方法.

4两个计数原理可以视作一种常识,易学好懂,但要达到会用、用好的程度,则需要一定量的应用性训练教学时应特别注意选择一些典型的、富有时代气息的应用问题,引导学生用两个计数原理进行分析、推理和论证,使学生有较多的机会在应用过程中加深对原理的理解,提高学生分析问题和解决问题的能力.教学中还要注意引导学生体会两个计数原理在排列数公式、组合数公式和二项式定理推导中的工具性作用,以利于避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算.

2.排列与组合

1.通过实例,理解排列、组合的概念,理解排列与组合的联系与区别.

2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式,并能应用排列与组合知识解决简单的实际问题.

能根据基本计数原理、排列与组合的相关知识,合理设计、构造模式,灵活选择方法,解决有关排列组合的简单应用(计数)问题.

1排列、组合是两类特殊而重要的计数问题,教学时应贯穿两个基本思路:一是根据一类问题的特点和规律寻找简便的计数方法,二是注意应用两个计数原理思考和解决问题

2.在分析具体问题时应当启发学生抓住“顺序”来区分排列问题中元素的“有序”与组合问题中元素的“无序”,这是解决这两类问题的关键,也是初学者容易犯错误的地方.由于“标准”对“组合数的两个性质”不作要求,教科书以选学内容的方式对它们进行介绍,然而这两个性质能够有效地简化一些组合数的运算,因此对于有兴趣和学有余力的学生可自主探究组合数的两个性质,但在教学中不作统一要求.

3.二项式定理

1.能用计数原理证明二项式定理.

2.掌握二项展开式的通项公式.

3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

1.能综合运用二项展开式、通项公式、二项式系数等知识解决问题.

2.会利用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题(如用赋值法得到需要的等式).

1教学中应该把二项式定理的学习过程视作应用两个计数原理解决问题的典型过程,在合情推理(猜想)的基础上获得结论,再用计数原理对其进行证明.这个分析过程不仅为二项式定理的证明提供了基本思路,也使学生对二项式定理的展开式和计数原理之间的内在联系加深了认识,进一步体会到运用数学知识解决数学问题的基本过程

2.在获得二项式定理后,教师应当引导学生对二项展开式进行深入分析.二项式系数的性质有比较广泛的应用,尤其要注意赋值法在证明组合数等式时的应用.在二项式定理的教学过程中,应注意适度运用“杨辉三角”这一题材,激发学生的学习热情,丰富学生对数学文化历史价值的认识,对学生进行爱国主义教育,激励学生的民族自豪感.

3 一定要针对学生的学习实际和课程标准的要求,适度把握教学内容的范围和难度,重视本部分内容的基本思维价值,避免在排列组合问题、二项式定理的过难运用等解题技巧上做文章.

2.统计与概率

1.概率

1.在对具体问题的分析中,理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念,认识分布列对刻画随机现象的重要性.

2.通过实例,理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用.

3.在具体情境中,了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解n次独立重复试验的模型及二项分布模型,并能解决一些简单的实际问题.

4.通过实例,理解取有限值的离散型随机变量均值的概念,能计算简单离散型随机变量的均值,并能解决一些实际问题.

*5.通过实例,理解取有限值的离散型随机变量方差的概念,能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题.

*6.通过实际问题,借助直观,认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

1.能把一些实际问题抽象成两点分布或超几何分布的模型,并加以解决.

2.了解两点分布、二项分布的方差的计算公式.

1.本部分内容概念较多,对每一个概念,都应该用学生熟悉的大量实例引入,水到渠成地提出概念,让学生在理解的基础上记忆,避免机械模仿.

尽管随机现象表现各异,随机事件形形色色,但忽略其具体背景、分析其本质,就会发现它们呈现出一些共性,统计与概率就是研究这些共性的数学工具.教学中要让学生体会“把随机试验的结果数量化,用随机变量表示试验结果”这一运用数学工具研究随机现象的基本思路,还应通过切合学生生活实际的例子,使学生具体感受其中体现的数学思想方法,进一步激发学习兴趣.

2.注意通过实例引导学生体会随机变量的意义,了解对于同一个实际问题,可以用不同的随机变量来描述,但要注意用简单的有实际意义的随机变量解决实际问题.教学中还应引导学生把随机变量和函数进行类比,对比函数的几种表示方法给出离散型随机变量分布列的几种表示方法,并引导学生比较不同表示方法的优缺点,体会根据具体问题选择适当的表示方法,以加深对随机变量的理解.为了能正确求出随机变量对应的概率值,使得教学过程顺其自然,教学中应适当复习必修课所学的概率知识.

3分布列能够全面描述离散型随机变量的统计规律,二项分布和超几何分布是两个应用广泛的概率模型,教学时要紧紧抓住具体实例,介绍几本概念和基本模型及其应用,促进学生更好地理解模型,并能用于解决一些实际问题

4.重视通过实际问题的直观含义和具体计算结果的对比,帮助学生了解条件概率、事件的独立性以及二项分布的概率.二项分布和超几何分布是两个应用广泛的概率模型,要通过实例引入这两个概率模型,让学生对这些概率模型直观认识,不单纯追求形式化的描述.它们貌似相同,但其本质意义明显不同,因此教学中注意产生超几何分布与二项分布模型背景的差别.

5.对于两个事件相互独立与两个事件互斥这两个概念,初学者容易混淆,在教学中应通过实际例子的辨析,让学生对这两个概念进行比较,明确两者的差别.

6.正态分布的教学不要求学生计算正态分布随机变量落到任意区间的概率,应将教学重点放在引导学生认识正态分布曲线的特点及其所表示的意义上,对于正态分布的一些性质,教学中只需要通过图形使学生直观认识.正态分布虽然在自然界中大量存在,是一个重要的数学模型,但是教学中一定要注意把握好教学深度,本部分教学内容只要求简单介绍.

*2.统计案例

1.通过对典型案例(如肺癌与吸烟有关吗’’等)的探究,了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及初步应用.

2.通过对典型案例(如“质量控制”“新药是否有效”等)的探究,了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用.

3.通过对典型案例(如“昆虫分类”等)的探究,了解聚类分析的基本思想、方法及初步应用.

4.通过对典型案例(如“人的体重与身高的关系”等)的探究,进一步了回归的基本思想、方法及初步应用.

1.统计案例的教学重点是使学生感受统计分析的思想,了解统计学对社会生活和科学研究的重要性.对于统计案例部分的内容,只要求学生了解独立性检验、实际推断原理和假设检验、聚类分析和回归的基本思想及其初步应用,对于其理论基础不作要求,避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算.该部分应采用案例教学的方式,要注意控制难度.

2.教学中应鼓励学生多思考,遇到不同的实际问题应考虑原来的统计方法是否仍然适用,在不能适用的情况下要探索新的统计方法,从而体会统计方法的有效性、局限性与可改进性.

3.在实际问题中,两个变量不一定都是线性相关关系,它们可能是指数关系、对数关系等非线性相关关系.在某些情况下可以借助函数变换把非线性相关关系转化为线性相关关系,用线性回归模型解决,这样的处理可以开阔学生的思路,培养学生的探索创新精神.在教学时还可以使学生体会到,对于需要解决的实际问题而言,没有一个模型是完全正确的,模型只有好坏之分,没有对错之别,任何数学模型只能是近似描述实际问题,统计学追求的是根据问题的实际背景寻求描述效果更好的模型.独立性检验的教学应认真考虑如何结合例题介绍独立性检验的基本思想,可以与反证法作对比,以加深学生对独立性检验思想的理解.

4.在本部分的教学过程中,应多鼓励学生经历数据处理的全过程,要尽量使用统计图直观展示两个变量的关系,培养学生对数据的直观感觉,体会统计方法应用的广泛性.应尽量给学生提供一定的实践活动机会,可结合数学建模的活动,选择一个案例,要求学生亲自实践.

教学中,应多鼓励学生使用计算器、计算机等现代技术手段处理数据,有条件的学校还可运用一些常见的统计软件解决实际问题.

注:标注“*”的内容为《四川省普通高中新课程数学学科教学实施指导意见(试行)》中规定的选学内容



[1]*根据《四川省普通高中新课程数学学科教学实施指导意见(试行)》具体要求,选修2223两个模块合并为一个模块,称为选修2-22-3.